АВ = CD так как трапеция равнобедренная, ∠BAD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции, AD - общая сторона для треугольников ABD и DCA, ⇒ ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними, значит ∠CAD = ∠BDA = 45°, ⇒ ΔAOD равнобедренный, а так как два угла в нем по 45°, то угол при вершине ∠AOD = 90°.
ΔВОС так же прямоугольный равнобедренный.
Проведем высоту трапеции через точку пересечения диагоналей. Обозначим основания а и b. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине. В равнобедренном ΔAOD h₁ - это высота и медиана, значит h₁ = a/2. В равнобедренном ΔВОС h₂ - это высота и медиана, значит h₂ = b/2. Высота трапеции равна: h = h₁ + h₂ = a/2 + b/2 = (a + b)/2, т.е. высота равна средней линии. Стоит запомнить: в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. h = (4 + 16)/2 = 10
В этой задаче главное угол М и биссектриса этого угла; биссектриса является геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла; каждая точка биссектрисы находится на одинаковом расстоянии от сторон угла, расстояние от точки до прямой измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Возьмем т.О, она находится на расстоянии 9 см от прямой МР, т.к. ОК - перпендикуляр, опущенный из т.О на МР и равен 9 см; опустим из т.О перпендикуляр на МN, его длина тоже 9см, это свойство биссектрис. ответ: расстояние от т.О до MN 9см.
∠BAD = ∠CDA как углы при основании равнобедренной трапеции,
AD - общая сторона для треугольников ABD и DCA, ⇒
ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними, значит
∠CAD = ∠BDA = 45°, ⇒
ΔAOD равнобедренный, а так как два угла в нем по 45°, то угол при вершине ∠AOD = 90°.
ΔВОС так же прямоугольный равнобедренный.
Проведем высоту трапеции через точку пересечения диагоналей.
Обозначим основания а и b.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
В равнобедренном ΔAOD h₁ - это высота и медиана, значит
h₁ = a/2.
В равнобедренном ΔВОС h₂ - это высота и медиана, значит
h₂ = b/2.
Высота трапеции равна:
h = h₁ + h₂ = a/2 + b/2 = (a + b)/2, т.е. высота равна средней линии.
Стоит запомнить:
в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.
h = (4 + 16)/2 = 10
Sabcd = (a + b)/2 · h = h² = 10² = 100
Возьмем т.О, она находится на расстоянии 9 см от прямой МР, т.к. ОК - перпендикуляр, опущенный из т.О на МР и равен 9 см; опустим из т.О перпендикуляр на МN, его длина тоже 9см, это свойство биссектрис.
ответ: расстояние от т.О до MN 9см.