. Расстояния от точки М до сторон прямоугольного треугольника АВС (угол С равен 90°) равны. Какое из следующих утверждений верно?
а) плоскости МАВ и АВС перпендикулярны,
б) плоскости МВС и АВС перпендикулярны;
в) плоскости МАС и АВС перпендикулярны;
г) плоскости МАС и МВС перпендикулярны;
д) условия в пунктах а - г неверны.
По условию задачи у нас имеется прямоугольный треугольник АВС, где угол С равен 90°. Пусть точка М находится на одном из расстояний от сторон данного треугольника.
Путь указано, что расстояния от точки М до сторон треугольника АВС равны, значит точка М является точкой пересечения медиан треугольника. В прямоугольном треугольнике АВС, медианы являются высотами и биссектрисами одновременно.
Таким образом, точка М является точкой пересечения высот треугольника АВС, и плоскости, проходящие через стороны треугольника и точку М, являются плоскостями высот треугольника АВС. Исходя из этого, утверждаем, что плоскости МАВ, МВС и МАС являются перпендикулярными плоскостями прямоугольного треугольника АВС.
Ответ: Верными являются все утверждения, а, б, в и г.