Ребра основания образуют с диагональю прямоугольного параллелепипеда прямоугольные треугольники на основании теоремы о тех перпендикулярах. Пусть диагональ образует угол 45 градусов с одним из ребер основания, получим прямоугольный равнобедренный треугольник с диагональю 10 см, тогда это ребро основания равно 5 корней из 2 см. С другим ребром основания диагональ образует угол 60 градусов, получим прямоугольный треугольник с диагональю 10 см, тогда другое ребро основания в этом треугольнике лежит напротив угла 30 градусов и равно половине диагонали, т е 5 см. Т к квадрат диагонали прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его измерений, то его высота равна 5 см. Объем равен произведению трех его измерений 125 корень из 2 куб см.
Чертеж - во вложении. 1) Через точку С проведем прямую, параллельную диагонали ВД. Пусть Е - точка пересечения этой прямой и продолжения основания АД. Т.к. ВС||ДЕ и ВД||СЕ, то ДВСЕ - параллелограмм. Поэтому СЕ=ВД и ВС=ДЕ. Т.к. АС⊥ВД и ВД||СЕ, то АС⊥СЕ, поэтому ∆АСЕ - прямоугольный. 2) Опустим высоту СН. Тогда АВСН-прямоугольник и СН=АВ=6, АН=ВС. Тогда в прямоугольном ∆СНД по теореме Пифагора 3) Пусть ВС=х, тогда АД=х+5, АЕ=2х+5. 4) В ∆ВАД по теореме Пифагора 5) В ∆АBC по теореме Пифагора 6) В ∆АCE по теореме Пифагора х=-9 - не удовлетворяет условию. Значит, ВС = 4, АД = 4 + 5 = 9. ответ: 4 и 9.
Пусть диагональ образует угол 45 градусов с одним из ребер основания, получим прямоугольный равнобедренный треугольник с диагональю 10 см, тогда это ребро основания равно 5 корней из 2 см. С другим ребром основания диагональ образует угол 60 градусов, получим прямоугольный треугольник с диагональю 10 см, тогда другое ребро основания в этом треугольнике лежит напротив угла 30 градусов и равно половине диагонали, т е 5 см. Т к квадрат диагонали прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его измерений, то его высота равна 5 см. Объем равен произведению трех его измерений 125 корень из 2 куб см.
1) Через точку С проведем прямую, параллельную диагонали ВД. Пусть Е - точка пересечения этой прямой и продолжения основания АД.
Т.к. ВС||ДЕ и ВД||СЕ, то ДВСЕ - параллелограмм. Поэтому СЕ=ВД и ВС=ДЕ.
Т.к. АС⊥ВД и ВД||СЕ, то АС⊥СЕ, поэтому ∆АСЕ - прямоугольный.
2) Опустим высоту СН. Тогда АВСН-прямоугольник и СН=АВ=6, АН=ВС.
Тогда в прямоугольном ∆СНД по теореме Пифагора
3) Пусть ВС=х, тогда АД=х+5, АЕ=2х+5.
4) В ∆ВАД по теореме Пифагора
5) В ∆АBC по теореме Пифагора
6) В ∆АCE по теореме Пифагора
х=-9 - не удовлетворяет условию.
Значит, ВС = 4, АД = 4 + 5 = 9.
ответ: 4 и 9.