Ребят Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 6 см и образует с плоскостью основания пирамиды угол 30°.
а) Найдите высоту пирамиды.
б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

1. Построим перпендикуляр СН, чтобы показать расстояние между параллельными большими сторонами ВС и AD, и перпендикуляр DO, чтобы показать расстояние между меньшими сторонами АВ и CD. Найдем AD, зная площадь параллелограмма и его высоту СН:
Sabcd= AD*CH, отсюда
AD=S/CH=96/8=12 дм
2. Зная периметр, найдем АВ:
Pabcd=2AD+2AB, отсюда 
AB=(P-2AD)/2=(44-24)/2= 10 дм
3. В прямоугольном треугольнике CHD найдем по теореме Пифагора DH:
DH = √DC²- CH²= √10² - 8² =√36 = 6 дм
4. Треугольники AOD и DНС подобны по первому признаку подобия: два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. В нашем случае:<AOD=<DHC=90°, <BCD=<CDH как накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых ВС и AD секущей CD. Но <BCD=<OAD, поэтому <OAD=<CDH.
5. Для подобных треугольников можно записать:
AD/CD=OD/DH, отсюда
OD=AD*DH/CD=12*6/10=7.2 дм

а) Если боковая грань перпендикулярна основанию, то высота лежит в этой грани.

Значит основание высоты - точка Н - лежит на гипотенузе.

Проведем из точки Н перпендикуляры НК и НМ к катетам АС и ВС.

НК и НМ - проекции наклонных SK и SM на плоскость основания, значит SK⊥AC и SM⊥BC по теореме о трех перпендикулярах. Тогда

∠SKH = ∠SMH = β - углы наклона боковых граней к плоскости основания.

Треугольники КSH и МSH прямоугольные, катет SH общий, и равны углы, противолежащие этому катету, значит

ΔКSH = ΔМSH по катету и противолежащему острому углу, ⇒

КН = МН, значит   СМНК - квадрат, СН - его диагональ, значит и биссектриса треугольника АВС. А так как треугольник равнобедренный, то и медиана, ⇒АН = ВН.

б) КН - средняя линия ΔАВС, так как проходит через середину АВ и параллельна ВС.

КН = а/2.

ΔSKH: tgβ = SH / HK

           SH = HK · tgβ = a/2 · tgβ