В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 AB=2 см, AA1=1 см.
1) Найдите площадь полной поверхности призмы.
площадь основания S1 =AB*AB*sin(pi/3)*1/2 = корень(3) боковая площадь S2 =AB*AA1*3 = 2*1*3=6 площадь полной поверхности призмы S3 = 2*S1+S2 = 2*корень(3) + 6
2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ACB1. площадь основания S1 = AB*AB*sin(pi/3)*1/2 = корень(3) высота треугольника основания h =AB*sin(pi/3)=корень(3) высота треугольника сечения h1 = корень(h^2+AA1^2)=2 площадь сечения призмы плоскостью ACB1 S4 = S1*h1/h = корень(3) * 2/корень(3) = 2
3) Найдите угол, который составляет прямая AB1 с плоскостью ABC. тангенс угла = BB1/AB=1/2 угол = арктангенс(0,5)
4) Найдите угол между плоскостями AB1C и ABC. высота треугольника основания h =AB*sin(pi/3)=корень(3) тангенс угла = BB1/h=1/корень(3) угол = арктангенс(1/корень(3)) = pi/6 = 30 градусов
5) Найдите длину вектора AA1-AC+2B1B-C1C AA1-AC+2B1B-C1C=CА+B1B+СC1=CА+A1A+AA1=CA ответ - 2 см
6) Докажите, что прямая A1C1 параллельна плоскости ACB1. прямая A1C1 параллельна прямой АС, лежащей вплоскости ACB1, значит параллельна плоскости ACB1
коэффициент подобия k =a₁/a₂ >0 .
(a₁/a₂)² =S₁/S₂ ⇒a₁=a₂*√(S₁/S₂) =9*√(75/300) =9*√(1/4) =9 /2 =4,5 (см).
Задание 4.
k = (a₁/a₂) =6 см / 4 см = 3/2 ; S₁+S₂ =78 ;
{ S₁+S₂ =78 ;S₁/S₂ =(3/2)² . ⇔ { (S₁/S₂ +1)*S₂ =78 ;S₁/S₂ =9/4. ⇔
{ (9/4 +1)*S₂ =78 ; S₁ =(9/4) *S₂. ⇔ { (13/4)*S₂ =78 ;S₁ =(9/4)*S₂ ⇔ { S₁ =(9/4)*24 ; S₂ =24 .⇔ { S₁ =54 (см²) ; S₂ =24 (см²).
Задание 5.
k =√ (S₁/S₂) = √ (25/100) =√ (1/4) =1/2.
a₁/a₂ =k ⇔a₁ =k*a₂ =(1/2)*6 см =3 см и b₁ =k*b₂ =(1/2)*10 =5 см.
Задание 6.
Все равносторонние треугольники подобны
k² = (a₂/a₁)² = S₁/S₂ ⇒a₂ = a₁*√(S₁/S₂) =1* √ 3.
a₂ =√ 3..
1) Найдите площадь полной поверхности призмы.
площадь основания S1 =AB*AB*sin(pi/3)*1/2 = корень(3)
боковая площадь S2 =AB*AA1*3 = 2*1*3=6
площадь полной поверхности призмы S3 = 2*S1+S2 = 2*корень(3) + 6
2) Найдите площадь сечения призмы плоскостью ACB1.
площадь основания S1 = AB*AB*sin(pi/3)*1/2 = корень(3)
высота треугольника основания h =AB*sin(pi/3)=корень(3)
высота треугольника сечения h1 = корень(h^2+AA1^2)=2
площадь сечения призмы плоскостью ACB1 S4 = S1*h1/h = корень(3) * 2/корень(3) = 2
3) Найдите угол, который составляет прямая AB1 с плоскостью ABC.
тангенс угла = BB1/AB=1/2
угол = арктангенс(0,5)
4) Найдите угол между плоскостями AB1C и ABC.
высота треугольника основания h =AB*sin(pi/3)=корень(3)
тангенс угла = BB1/h=1/корень(3)
угол = арктангенс(1/корень(3)) = pi/6 = 30 градусов
5) Найдите длину вектора AA1-AC+2B1B-C1C
AA1-AC+2B1B-C1C=CА+B1B+СC1=CА+A1A+AA1=CA
ответ - 2 см
6) Докажите, что прямая A1C1 параллельна плоскости ACB1.
прямая A1C1 параллельна прямой АС, лежащей вплоскости ACB1, значит параллельна плоскости ACB1