Реши задачу. В прямоугольнике MNKL диагонали МК и NL пересекаются в точке Q. Высота QR треугольника MQL равна 15. Высота QS треугольника QLK равна 20. Найди все стороны треугольника MNK. Заполни пропуски числами !!
Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства прямоугольника и прямоугольного треугольника.
Сначала обратим внимание на то, что треугольники MQL и QLK являются прямоугольными. Это означает, что высоты QR и QS являются высотами, опущенными из вершины треугольников на основания MQL и QLK соответственно.
Теперь, давайте обратимся к прямоугольнику MNKL. По свойствам прямоугольника, каждая диагональ делит его на два равных прямоугольных треугольника. Таким образом, MQ является высотой треугольника MQL, а QK является высотой треугольника QLK.
Итак, у нас имеются следующие данные:
Высота QR треугольника MQL равна 15.
Высота QS треугольника QLK равна 20.
Теперь, чтобы найти все стороны треугольника MNK, нам нужно определить значения MQ и QK. Для этого мы можем использовать подобие треугольников.
Для начала, заметим, что треугольники MQL и QLK являются подобными. Почему? Потому что они имеют два одинаковых угла – прямой угол (по определению прямоугольных треугольников) и общий угол в точке Q. Так как углы этих треугольников совпадают, значит, они подобны.
Теперь, используя подобие треугольников, мы можем установить пропорцию между их сторонами. Рассмотрим отношение сторон:
MQ : QK = QR : QS
Подставляем известные значения:
MQ : QK = 15 : 20
Упрощаем пропорцию, деля обе стороны на 5:
3 : 4 = 15 : 20
Теперь, с помощью соотношения между сторонами треугольников MQL и QLK, мы можем найти значения сторон MQ и QK. Заметим, что MQ и QK это высоты треугольников MQL и QLK соответственно.
MQ = 3 * QR = 3 * 15 = 45
QK = 4 * QS = 4 * 20 = 80
Итак, получили:
MQ = 45
QK = 80
Осталось найти стороны треугольника MNK. Мы знаем, что MQ и QK — высоты треугольника MNK, опущенные из вершин M и K на стороны NK и MK соответственно.
Теперь, чтобы найти стороны треугольника MNK, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора. Заметим, что треугольник MNK — прямоугольный, так как его диагонали пересекаются и разделяют его на два равных прямоугольных треугольника.
Применим теорему Пифагора для треугольника MNK:
MK^2 + NK^2 = MN^2
Подставим известные значения:
MK^2 + NK^2 = MN^2
(QK + MQ)^2 + (QR + QS)^2 = MN^2
(80 + 45)^2 + (15 + 20)^2 = MN^2
(125)^2 + (35)^2 = MN^2
15625 + 1225 = MN^2
16850 = MN^2
Теперь найдем значение стороны MN, извлекая квадратный корень из уравнения:
MN = √16850 ≈ 129.76
Таким образом, все стороны треугольника MNK равны:
MN ≈ 129.76
MK = MQ + QK = 45 + 80 = 125
NK = QR + QS = 15 + 20 = 35
