Решить : ) 4) в треугольнике abc проведена медиана cd, которая отсекает от него равнобедренный треугольник acd( ad=cd). найдите угол acb/ 5) в треугольнике abc на высоте bf отмечена точка о, такая. что ао=ос. расстояние от точки о до стороны ав равно 4 см, а до стороны ас-7 см. найдите расстояние от точки о до стороны вс. 6) в треугольнике авс проведены медиана af и высота cd. найдите df, если bc=10 см. 8) из вершины прямого угла c треугольника abc проведены медиана cm и высота ch. найдите угол hcm. если угол abc=34 градуса. решить. от этой работы будет зависеть четвертная !

4) Примем угол А=а, угол В=b

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ⇒

в ∆ АДС ∠АCD=∠CAD=а. 

По условию СD=АD, а СD - медиана, и АD=ВD, ⇒ СD=ВD. 

∆ ВDС равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. ∠ВСD=∠СВD=b

Из найденного следует: угол С=а+b

Сумма углов треугольника 180°

Угол А+угол С+угол В=180° ⇒

а+b+a+b=180°

2a+2b=180°⇒

a+b=90° - угол С=а+b=90°

(Полезно помнить: Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой проведена, этот треугольник – прямоугольный). 

======

5) В ∆ АОС отрезок ОF перпендикулярен АС⇒ ОF – высота, а т.к. ∆ АОС равнобедренный (АО=ОС – дано), то ОF - медиана.  ∆ АВF=∆ BCF– они прямоугольные с равными катетами: АF=FC (доказано), и ВF - общий, ⇒ АВ=ВС. 

 В  равнобедренном ∆ АВС отрезок ВF- не только высота, но и медиана и биссектриса. Расстояние от точки до прямой - длина проведенного перпендикулярно к прямой отрезка. 

Треугольники ВКО и ВМО прямоугольные с общей гипотенузой ВО и равным острым углом при В. Эти треугольники  равны по углу и гипотенузе. Следовательно. ОМ=ОК=4. 

≈≈≈≈≈≈≈≈

6) Медиана AF делит ВС на равные отрезки. BF=CF⇒

DF  - медиана ∆ BDC и по свойству медианы прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы 

DF=ВС:2=5 (ед. длины)

======

8) Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. ⇒

угол САВ=90°-34°=56°

Медиана СМ делит ∆ АВС на равнобедренные: ∆ АМС с углами при АС, равными 56°, и ∆ ВМС с углами при ВС, равными 34°. 

Угол АСН=90°-56°=34°

∠НСМ=∠АСМ -∠АСН. 

Угол НСМ=56°-34°=22°