Поскольку центр окружности О расположен в середине стороны АВ, то касательные ВС и АД перпендикулярны АВ и, соответственно, параллельны друг другу. Таким образом, получается, что данный четырёхугольник - трапеция с основаниями АД и ВС.
Опустим из вершины Д на ВС перпендикуляр ДК, а из центра окружности перпендикуляр ОМ на СД и среднюю линию трапеции ОР.ВК =АД, а
ВС = ВК +КС = 5+КС.
Тр-ки ДКС и ОМР подобны, т.к. они прямоугольные и углы КДС и РОМ равны как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Соответствующие стороны этих тр-ков пропорциональны: СД:ОР = ДК:ОР = КС: МР
Но ДК = АВ = 2√35, а ОМ = R=0,5АВ = √35.
Из отношения СД:ОР = ДК:ОР
получим СД:ОР = 2√35 : √35 = 2
Т.е. коэффициент пропорциональности равен 2, то СД = 2 ОР и МР = 0,5КС
Сторона СД точкой Р делится пополам, т.к. ОР - средняя линия трапеции.
Тогда СР = ОР.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: ОР = 0,5 (АД + ВС) =
= 0,5 (5+ 5 +КС) = 5 + 0,5КС
В тр-ке ОРМ: ОР² = ОМ² + МР²
Поскольку МР = 0,5КС и ОМ = R = 0,5АВ = √35, то по теореме Пифагора
Обозначим катеты а и в, радиус вписанной окружности r. На катетах отрезки от острого угла до точки касания вписанной окружности тоже равны 3 и 7. Тогда катеты равны r+3 и r+7. По Пифагору (r+3)² + (r+7)² = 10². r²+6r+9+r²+14r+49 = 100. 2r²+20r-42 = 0, r²+10r-21 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно r: Ищем дискриминант: D=10^2-4*1*(-21)=100-4*(-21)=100-(-4*21)=100-(-84)=100+84=184;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: r_1=(√184-10)/(2*1)=√184/2-10/2=√46-5 ≈1,78233;r_2=(-√184-10)/(2*1)=-√184/2-10/2=-√46-5 ≈ -11,78233 этот отрицательный корень отбрасываем. Определяем катеты: а = √46-5+3 = √46-2, в = √46-5+7 = √46+2. Площадь S треугольника равна: S = (1/2)ab = (1/2)*(√46-2)*(√46+2) = (1/2)*(46-4) = 42/2 = 21 кв.ед.
Поскольку центр окружности О расположен в середине стороны АВ, то касательные ВС и АД перпендикулярны АВ и, соответственно, параллельны друг другу. Таким образом, получается, что данный четырёхугольник - трапеция с основаниями АД и ВС.
Опустим из вершины Д на ВС перпендикуляр ДК, а из центра окружности перпендикуляр ОМ на СД и среднюю линию трапеции ОР.ВК =АД, а
ВС = ВК +КС = 5+КС.
Тр-ки ДКС и ОМР подобны, т.к. они прямоугольные и углы КДС и РОМ равны как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Соответствующие стороны этих тр-ков пропорциональны: СД:ОР = ДК:ОР = КС: МР
Но ДК = АВ = 2√35, а ОМ = R=0,5АВ = √35.
Из отношения СД:ОР = ДК:ОР
получим СД:ОР = 2√35 : √35 = 2
Т.е. коэффициент пропорциональности равен 2, то СД = 2 ОР и МР = 0,5КС
Сторона СД точкой Р делится пополам, т.к. ОР - средняя линия трапеции.
Тогда СР = ОР.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: ОР = 0,5 (АД + ВС) =
= 0,5 (5+ 5 +КС) = 5 + 0,5КС
В тр-ке ОРМ: ОР² = ОМ² + МР²
Поскольку МР = 0,5КС и ОМ = R = 0,5АВ = √35, то по теореме Пифагора
(5 + 0,5КС)² = (√35)² + (0,5КС)²
25 +2·0,5·5·КС +0,25КС² = 35 + 0,25КС²
5КС = 35-25 = 10
КС = 2
Тогда ВС = ВК +КС = 5+ 2 = 7
На катетах отрезки от острого угла до точки касания вписанной окружности тоже равны 3 и 7.
Тогда катеты равны r+3 и r+7.
По Пифагору (r+3)² + (r+7)² = 10².
r²+6r+9+r²+14r+49 = 100.
2r²+20r-42 = 0,
r²+10r-21 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно r: Ищем дискриминант:
D=10^2-4*1*(-21)=100-4*(-21)=100-(-4*21)=100-(-84)=100+84=184;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
r_1=(√184-10)/(2*1)=√184/2-10/2=√46-5 ≈1,78233;r_2=(-√184-10)/(2*1)=-√184/2-10/2=-√46-5 ≈ -11,78233 этот отрицательный корень отбрасываем.
Определяем катеты:
а = √46-5+3 = √46-2,
в = √46-5+7 = √46+2.
Площадь S треугольника равна:
S = (1/2)ab = (1/2)*(√46-2)*(√46+2) = (1/2)*(46-4) = 42/2 = 21 кв.ед.