решить. Есть прямоугольный треугольник, ABC с прямым углом B. Проведена биссектриса AD=3 угла A. Найти площадь ADC, если AC=корень из 14

ответ: 3*SQR(7)/4

Объяснение: Пусть АВ=х .   Выразим cos BAD= cos Z= АВ/AD=x/3

(cosZ)^2= x^2/9                                     (1)

Cos BAC= cos 2Z= x/AC=x/sqr(14)

cos 2Z= 2*(cosZ)^2-1                          

x/sqr(14)=2*(cosZ)^2-1                            (2)

Подставив (1) в (2)  получим:

x/sqr(14)=2*x^2/9-1

2*sqr(14)*x^2 -x*9-9*sqr(14)=0          

Решим это квадратное уравнение , используя дискриминант

D=81+4*9*2*14= 81+72*14=1089=33^2

Находим корень уравнения х1=(9+33)/(4*sqr(14)) =21/(2*sqr(14))=

21*sqr(14)/(2*14)=3*sqr(14)/4

Очевидно, что второй корень х2=(9-33)/(4*sqr(14))- отрицательный и поскольку х- длина катета,- смысла не имеет.

Найдем BD по т. Пифагора

BD^2=AD^2-AB^2=9-9*14/16=9-63/8= (72-63)/8=9/8

BD=3/(2*sqr(2))

sinZ= BD/AD=3/(2*sqr(2)) : 3= 1/(2*sqr(2))

Теперь найдем площадь треугольника ADC  по формуле S=ab*sinZ/2

= AD*AC*sinZ/2

S= 3*sqr(14)/(2*sqr(2)) /2= 3*sqr(7)/4