Точно такую задачу уже решала. Даю ее подробное решение .
В треугольнике АВС угол В равен 120°, а длина стороны АВ на 7√3 меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.
Окружность, радиус которой нужно найти - вневписанная.
В любом треугольнике
расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника.
( Доказательство этой теоремы при желании легко найти, в данном случае оно не является целью решения)
То-есть в данной задаче AЕ = p. Вневписанная окружность касается стороны ВC треугольника ABC, отрезки касательных от вершины А до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Это утверждение вытекает из того, что
по свойству отрезков касательных из точки вне окружности отрезки от В до точек касания равны, равны и отрезки от С до точек касания. Сумма их с соответствующими сторонами треугольника является его полупериметром.
Центр данной окружности лежит на биссектрисе угла СВЕ. Так как этот угол смежный с углом АВС,
он равен 60°, а угол ОВЕ=30°. Так как длина стороны АВ на 7√3 меньше полупериметра треугольника, а АЕ - равна полупериметру, то ВЕ=7√3 Радиус ОЕ:ВЕ= tg (30°) = 1/√3 Радиус ОЕ:ВЕ=R:7√3 R:7√3 = 1/√3 R=7√3 ·1/√3=7
Если внешний угол равен 30 градусов, то, учитывая, что сумма всех внешних углов равна 360 градусов, получим: 360 : 30 = 12. Значит этот многоугольник - правильный двенадцатиугольник.Если диаметр окружности 8 см, то радиус равен 4 см. Если провести радиусы, то двенадцатиугольник разбивается на 12 равных равнобедренных треугольников с боковыми сторонами 4 см и углом при вершине равным 360 :12 = 30 градусов.Площадь одного такого треугольника равна 1/2* 4*4*sin 30 = 4 кв. см Тогда площадь всего двенадцатиугольника равна 4 * 12 = 48 кв.см ответ. 48 кв.см
Точно такую задачу уже решала. Даю ее подробное решение .
В треугольнике АВС угол В равен 120°, а длина стороны АВ на 7√3 меньше
полупериметра треугольника.
Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и АС.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Сделаем рисунок.
Окружность, радиус которой нужно найти - вневписанная.
В любом треугольнике
расстояние от вершины треугольника до точки касания вневписанной окружности (касающейся противоположной данной вершине стороны треугольника и продолжений двух других его сторон) с продолжением стороны треугольника, выходящей из данной вершины, есть полупериметр треугольника.
( Доказательство этой теоремы при желании легко найти, в данном случае оно не является целью решения)
То-есть в данной задаче AЕ = p.
Вневписанная окружность касается стороны ВC треугольника ABC, отрезки касательных от вершины А до точек касания с вневписанной окружностью равны полупериметру треугольника.
Это утверждение вытекает из того, что
по свойству отрезков касательных из точки вне окружности отрезки от В до точек касания равны, равны и отрезки от С до точек касания. Сумма их с соответствующими сторонами треугольника является его полупериметром.
Центр данной окружности лежит на биссектрисе угла СВЕ.
Так как этот угол смежный с углом АВС,
он равен 60°, а угол ОВЕ=30°.
Так как длина стороны АВ на 7√3 меньше полупериметра треугольника, а АЕ - равна полупериметру, то
ВЕ=7√3
Радиус ОЕ:ВЕ= tg (30°) = 1/√3
Радиус ОЕ:ВЕ=R:7√3
R:7√3 = 1/√3
R=7√3 ·1/√3=7
Если внешний угол равен 30 градусов, то, учитывая, что сумма всех внешних углов равна 360 градусов, получим: 360 : 30 = 12. Значит этот многоугольник - правильный двенадцатиугольник.Если диаметр окружности 8 см, то радиус равен 4 см.
Если провести радиусы, то двенадцатиугольник разбивается на 12 равных равнобедренных треугольников с боковыми сторонами 4 см и углом при вершине равным 360 :12 = 30 градусов.Площадь одного такого треугольника равна 1/2* 4*4*sin 30 = 4 кв. см
Тогда площадь всего двенадцатиугольника равна 4 * 12 = 48 кв.см
ответ. 48 кв.см