Решить, контрольная уже завтра. с рисунком и подробным решением, .

#1. основание ab треугольника abc лежит в плоскости альфа, а вершина c не лежит в этой плоскости. точки m и n являются серединами сторон ac и bc. докажите, что отрезок mn параллелен плоскости альфа и найдите его длину, если ab=18см.

P = 2*(a+b) = 30
a+b = 15
---
d = √(a²+b²) = 14
√(a²+b²) = 14
a²+b² = 14²
a = 15-b
(15-b)² + b² = 14²
225 - 30b + b² + b² = 196
2b² - 30² + 29 = 0
b₁ = (30 - √(30² - 4*2*29))/4 = 15/2 - √668/4 = 15/2 - √167/2
b₂ = (30 + √(30² - 4*2*29))/4 = 15/2 + √668/4 = 15/2 + √167/2
a₁ = 15 - b₁ = 15 - 15/2 + √167/2 = 15/2 + √167/2
a₂ = 15 - b₂ = 15 - 15/2 - √167/2 = 15/2 - √167/2
Решение одно, просто а и в переставлены местами
S = a*b = (15/2 + √167/2)*(15/2 - √167/2) = 1/4*(15 + √167)*(15 - √167) = 1/4*(15² - 167) = 1/4*(225 - 167) = 1/4*58 = 29/2

 Плоскость пересекает шар по кругу. Радиус r круга, по которому треугольник АВС пересекает шар с центром О, равен радиусу окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник. 

Формула радиуса вписанной в прямоугольный треугольник окружности 

r=(b-c):2

Второй катет можно найти по т.Пифагора, и можно обратить внимание на то, что треугольник "египетский" с отношением 3:4:5. 

Отсюда АС=6 см.⇒

r=(8+6-10):2=2 (см)

Расстояние от плоскости треугольника до центра шара ОН=4.

 Радиус R шара из ∆ ОНМ по т.Пифагора: 

R=OМ=√(HO²+HM²)=√(16+4)=2√5 см