2) Дан треугольник с вершинами A(0;-1;-1), B(2;0;-3), D(-5;-5;3). Площадь треугольника равна половине векторного произведения двух векторов, выходящих из одной точки. Вектор АВ (2; 1; -2). Вектор АС (-5; -4; 4). Векторное произведение a × b = = {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}= = ((4-8);(10-8); (-8-(-5))) = (-4; 2; -3). Модуль ахв = √((-4)²+2²+(-3)²) = √(16+4+9) = √29 ≈5,3851648. Площадь равна (а*в)/2 = 5,385165/2 = 2,6925825.
Условие перпендикулярности векторов: Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение xaxb + yayb + zazb= 0. AB(2;1;-2). СД(-2;2;-1). 2*(-2)+1*2+(-2)*(-1) = -4+2+2 = 0. Но длина высоты равна удвоенной площади треугольника, делённой на сторону. Для этого находим длину стороны АВ: АВ = √(2²+1²+(-2)²) = √(4+1+4) = √9 = 3. СД = 2S/AB = 2*2,6925825/3 = 1,7950549.
Площадь треугольника равна половине векторного произведения двух векторов, выходящих из одной точки.
Вектор АВ (2; 1; -2).
Вектор АС (-5; -4; 4).
Векторное произведение a × b =
= {aybz - azby; azbx - axbz; axby - aybx}=
= ((4-8);(10-8); (-8-(-5))) = (-4; 2; -3).
Модуль ахв = √((-4)²+2²+(-3)²) = √(16+4+9) = √29 ≈5,3851648.
Площадь равна (а*в)/2 = 5,385165/2 = 2,6925825.
Условие перпендикулярности векторов:
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение
xaxb + yayb + zazb= 0.
AB(2;1;-2).
СД(-2;2;-1). 2*(-2)+1*2+(-2)*(-1) = -4+2+2 = 0.
Но длина высоты равна удвоенной площади треугольника, делённой на сторону.
Для этого находим длину стороны АВ:
АВ = √(2²+1²+(-2)²) = √(4+1+4) = √9 = 3.
СД = 2S/AB = 2*2,6925825/3 = 1,7950549.
AB=CD - по свойству параллелограмма ABCD
AB=2*DE=CD ⇒ точка Е - середина CD
CE=ED=AD=DM=MG ⇒ CD=DG
четыр-ник ECFG - параллелограмм
CE || FG, так как ED || FG - по свойству параллелограмма EDGFCE=FG, так как ED=FG - по свойству параллелограмма EDGFЗначит, СF=EG - по свойству параллелограмма ECFG
ΔCDG - равнобедренный ⇒ CM=GE - медианы, проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника
Поэтому CF=CM
Продолжим прямую СM до пересечения с прямой FG в точке P
ΔCMD=ΔPMG - по стороне и двум прилежащим к ней углам
DM=MG - по условию∠CMD=∠PMG - как вертикальные углы∠CDG=∠PGD - как накрест лежащие углы при CD || PG и секущей DGЗначит, CM=MP, CD=PG
Рассмотрим ΔСPF: CF=CM=MP, PG=2*FG
FG/PG=1/2 и CF/CP=1/2
Известное свойство биссектрисы:
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам
Это свойство работает и в обратную сторону.
Следовательно, CG - биссектриса угла MCF, ч.т.д.