Решить : окружность с центром на диагонали ас равнобочной трапеции авсd касается боковой стороны аd и оснований трапеции. известно, что ас = ав. найти острый угол трапеции.
А) Используем формулу площади равнобедренного треугольника: S = (1/2)L²sinβ, где L- образующая конуса. Отсюда . В осевом сечении угол при вершине треугольника равен 2α. Площадь осевого сечения So = (1/2)L²sin(2α) = (1/2)*(2S/sinβ)*(sin(2α) = (S*sin(2α)/sin β. б) Площадь осевого сечения усечённого конуса, полученного сечением данного конуса плоскость, проходящей через середину его высоты. составляет 3/4 от осевого сечения полного конуса. Это потому, что отнимается половина основания треугольника и половина высоты - итого 1/4 площади. Тогда Soу = (3/4)* (S*sin(2α)/sin β = (3*S*sin(2α)/(4*sin β).
Обозначим боковые стороны треугольника - а, b - основание.
Р = 2a + b = 10 см
2а = 10 - b
a = (10 - b)/2
Разность (10 - b) должна быть четной, чтобы боковые стороны выражались целым числом. Значит b тоже должно быть четным.
Кроме того должно выполняться неравенство треугольника:
b < 2a
Если b = 2, то а = (10 - 2)/2 = 4.
b < 2 · 4 - верно.
Если b = 4, то а = (10 - 4)/2 = 3
b < 2 · 3 - неверно.
Дальше проверять нет необходимости, так как b увеличивается, а боковые стороны уменьшаются и неравенство треугольника будет неверным.
Итак, стороны треугольника 2, 4, 4.
S = (1/2)L²sinβ, где L- образующая конуса.
Отсюда
В осевом сечении угол при вершине треугольника равен 2α.
Площадь осевого сечения So = (1/2)L²sin(2α) = (1/2)*(2S/sinβ)*(sin(2α) = (S*sin(2α)/sin β.
б) Площадь осевого сечения усечённого конуса, полученного сечением данного конуса плоскость, проходящей через середину его высоты. составляет 3/4 от осевого сечения полного конуса.
Это потому, что отнимается половина основания треугольника и половина высоты - итого 1/4 площади.
Тогда Soу = (3/4)* (S*sin(2α)/sin β = (3*S*sin(2α)/(4*sin β).