РЕШИТЬ С ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ В треугольнике МРК угол Р равен 140 градусов, МР = 5, РК = 7. Найдите длину МК.

1. Периметр = 2a + 2b = 40 см 
a+b = 20 см
1) a = x (ширина)
b = 4x (длина)
4x + x = 20 см
5x = 20 см
x = 4 см (ширина)
4x = 16 см (длина)

2) a - x (ширина)
b = x+7 (длина)
2х + 7 = 20
2х = 13
х = 6,5 (ширина)
х+7 = 13,5 (длина)

2. Треугольник КРА - равнобедренный:
с основанием 7см и боковыми сторонами = 4,5см, поскльку А - середина диагонали =9см.

Тогда периметр = 7 + 2*4,5 = 16см.

Равнобедренность треугольника АКР вытекает из того, что угол ОКР = углу АКР, а угол МРК = углу АРК.

3. Ну начнём с того, что углы все прямые. 4х к 5х значит, что угол ВАС = 40°, а угол САD = 50°. 

Углы треугольника АВС:
угол ВАС = 40° 
угол АВС = 90°
угол АСВ = 50°

Углы треугольника СAD:
угол СAD = 50°
угол АСD = 40°
угол ADC = 90°

И где там угол 160°? Его там и быть не может.

Выведу обобщённую формулу для подобных задач про трапецию с известными диагоналями AC = x, BD = y, и суммой оснований BC + AD = m

Проведём из вершинны С прямую СЕ, параллельную BD, тогда BC || DE, CE || BD ⇒ BCED - параллелограми, ВС = DE, CE = BD = y

S (abcd) = (BC + AD)•CH/2 = (DE + AD)•CH/2 = AE•CH/2 = S (ace)

Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE

Найдём плошадь ΔАСЕ по формуле Герона: АС = х, CE = y, AE = m

Площадь трапеции с диагоналями х и у и суммой оснований равной m:S = √( p • (p - x) • (p - y) • (p - m) ) , где р = (х + y + m)/2

Средняя линия трапеции: MN = (BC + AD)/2 = 5 ⇒ m = 10, x = 9, у = 17

S (abcd) = √(18•(18 - 9)(18 - 17)(18 - 10)) = √(18•9•1•8) = 36

ответ: 36