1) Параллельной проекцией равностороннего треугольника может быть треугольник произвольной формы.
Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости π. Построим на одной из его сторон, например, AC равносторонний треугольник AB₁C так, чтобы точка B₁ не принадлежала плоскости π. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B₁ и B. Тогда ясно, что треугольник ABC (произвольный) является параллельной проекцией равностороннего треугольника AB₁C на плоскость π в направлении прямой l. См. рисунок.
2) Найдём отношение . Тогда по свойству параллельных проекций, если точка С делит заданный отрезок в отношении m:n , то проекция этой точки С₁ делит проекцию заданного отрезка в том же отношении. Следовательно, .
Обозначим треугольник АВС(смотри рисунок). Угол "альфа"=60, поскольку в четырёхугольнике НМСN сумма остальных углов равна 90+120+90=300. По теореме синусов находим радиус окружности описанной вокруг треугольника НMN. Поскольку точки M и N, принадлежащие прямоугольным треугольникам СМН и СNН лежат на одной окружности , то окружность описанная вокруг НМN будет также описанной окружностью вокруг треугольников СМН и СNН. У прямоугольных треугольников центр этой окружности лежит на середине гипотенузы, отсюда находим высоту НС. Затем площадь треугольника АВС. Потом, по теореме косинусов-найдём сумму квадратов неизвестных сторон. Добавим к ней произведение Х*У и найдём полупериметр. А дальше по известной формуле Радиус вписанной окружности треугольника АВС равен - 12 корней из3/((4 корня из3)+6).
1) Параллельной проекцией равностороннего треугольника может быть треугольник произвольной формы.
Действительно, пусть дан произвольный треугольник ABC в плоскости π. Построим на одной из его сторон, например, AC равносторонний треугольник AB₁C так, чтобы точка B₁ не принадлежала плоскости π. Обозначим через l прямую, проходящую через точки B₁ и B. Тогда ясно, что треугольник ABC (произвольный) является параллельной проекцией равностороннего треугольника AB₁C на плоскость π в направлении прямой l. См. рисунок.
2) Найдём отношение
. Тогда по свойству параллельных проекций, если точка С делит заданный отрезок в отношении m:n , то проекция этой точки С₁ делит проекцию заданного отрезка в том же отношении. Следовательно, 
.
Обозначим треугольник АВС(смотри рисунок). Угол "альфа"=60, поскольку в четырёхугольнике НМСN сумма остальных углов равна 90+120+90=300. По теореме синусов находим радиус окружности описанной вокруг треугольника НMN. Поскольку точки M и N, принадлежащие прямоугольным треугольникам СМН и СNН лежат на одной окружности , то окружность описанная вокруг НМN будет также описанной окружностью вокруг треугольников СМН и СNН. У прямоугольных треугольников центр этой окружности лежит на середине гипотенузы, отсюда находим высоту НС. Затем площадь треугольника АВС. Потом, по теореме косинусов-найдём сумму квадратов неизвестных сторон. Добавим к ней произведение Х*У и найдём полупериметр. А дальше по известной формуле Радиус вписанной окружности треугольника АВС равен - 12 корней из3/((4 корня из3)+6).