При желании можно разбить треугольник ABC на два прямоугольных треугольника AKB и AKC. Но в результате формулы будут все равно тождественны. Действительно,
AK = AB sin ß = b sin β BK = AB cos β = b cos β SABK = AK * BK / 2 = b2sin β cos β / 2
откуда SABС = 2SABK = b2sin β cos β (примем за искомую площадь основания, далее справочно приведем к той же формуле, которая указана по ссылке выше)
Если воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, то b2sin β cos β = 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin 2β или как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника) 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin (180 - α) = 1/2 b2sin α
Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды. Сначала найдем высоту боковых граней, прилежащих к равным сторонам равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. При этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку О основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. Вместе с радиусом вписанной окружности, высота боковой грани образует прямоугольный треугольник. Откуда высота боковой грани пирамиды равна: h = r / sin φ
Длину радиуса вписанной окружности найдем как r = S/p
Учитывая, что BC = 2BK, то BC = 2b cos β откуда p = ( b + b + 2b cos β ) / 2 p = ( 2b + 2b cos β ) / 2 p = 2b ( 1 + cos β ) / 2 p = b ( 1 + cos β )
Таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен r = S / p r = b2sin β cos β / b ( 1 + cos β ) = b sin β cos β / ( 1 + cos β )
Теперь определим высоту боковых граней пирамиды. Зная, что l / r = cos φ, то l = r cos φ
Тогда площадь грани пирамиды, прилегающей к равным сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна: S1 = lb / 2 S1 = r cos φ * b / 2 S1 = b sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ * b / 2 S1 = b2 sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ / 2 S1 = b2 sin β cos β cos φ / ( 2 ( 1 + cos β ) )
Площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна: S2 = BC * l / 2 S2 = 2b cos β * r cos φ / 2 S2 = b cos β * r cos φ S2 = b cos β * b sin β cos β / ( 1 + cos β ) * cos φ S2 = b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
Площадь боковой поверхности пирамиды равна: Sбок = 2S1 + S2 Sбок = 2 * b2 sin β cos β / ( 2 ( 1 + cos β ) cos φ ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β ) Sбок = b2 sin β cos β cos φ / ( 1 + cos β ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β ) Sбок = ( b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ ) / ( 1 + cos β ) Sбок = b2 sin β cos β cos φ ( 1 + cos β ) / ( 1 + cos β ) Sбок = b2 sin β cos β cos φ
Откуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит: S = Sбок + Sосн S = b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
1) Если О - центр правильного треугольника АВС, то СМ - его высота,
АВ⊥СМ.
DO⊥АВС, значит DO перпендикулярна любой прямой этой плоскости, ⇒
АВ⊥DO.
АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DOC, значит перпендикулярна плоскости. Значит прямая АВ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости DOC, ⇒
АВ⊥DC.
2) АВ = АС по условию, ∠DAC = ∠DAB по условию, DA - общая сторона для треугольников DAC и DAB, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ DC = DB, т.е. ΔDCB равнобедренный.
Пусть Н - середина ВС. Тогда
ВС⊥АН, так как медиана АН равнобедренного треугольника АВС является и высотой,
ВС⊥DH, так как ΔDCB тоже равнобедренный,
ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DAH, значит перпендикулярна самой плоскости, значит перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в том числе и AD.
При желании можно разбить треугольник ABC на два прямоугольных треугольника AKB и AKC. Но в результате формулы будут все равно тождественны. Действительно,
AK = AB sin ß = b sin β
BK = AB cos β = b cos β
SABK = AK * BK / 2 = b2sin β cos β / 2
откуда
SABС = 2SABK = b2sin β cos β
(примем за искомую площадь основания, далее справочно приведем к той же формуле, которая указана по ссылке выше)
Если воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, то
b2sin β cos β = 1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin 2β
или как по основной формуле (площади равнобедренного треугольника)
1/2 b2sin 2β = 1/2 b2sin (180 - α) = 1/2 b2sin α
Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды.
Сначала найдем высоту боковых граней, прилежащих к равным сторонам равнобедренного треугольника, лежащего в основании пирамиды. При этом учтем, что высота пирамиды проецируется в точку О основания, которая одновременно является центром вписанной окружности. Вместе с радиусом вписанной окружности, высота боковой грани образует прямоугольный треугольник. Откуда высота боковой грани пирамиды равна:
h = r / sin φ
Длину радиуса вписанной окружности найдем как
r = S/p
Учитывая, что BC = 2BK, то BC = 2b cos β
откуда
p = ( b + b + 2b cos β ) / 2
p = ( 2b + 2b cos β ) / 2
p = 2b ( 1 + cos β ) / 2
p = b ( 1 + cos β )
Таким образом, радиус вписанной окружности в основание пирамиды будет равен
r = S / p
r = b2sin β cos β / b ( 1 + cos β ) = b sin β cos β / ( 1 + cos β )
Теперь определим высоту боковых граней пирамиды. Зная, что
l / r = cos φ, то
l = r cos φ
Тогда площадь грани пирамиды, прилегающей к равным сторонам основания (а в основании пирамиды у нас лежит равнобедренный треугольник) будет равна:
S1 = lb / 2
S1 = r cos φ * b / 2
S1 = b sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ * b / 2
S1 = b2 sin β cos β / ( 1 + cos β ) cos φ / 2
S1 = b2 sin β cos β cos φ / ( 2 ( 1 + cos β ) )
Площадь боковой грани, прилегающей к основанию, равна:
S2 = BC * l / 2
S2 = 2b cos β * r cos φ / 2
S2 = b cos β * r cos φ
S2 = b cos β * b sin β cos β / ( 1 + cos β ) * cos φ
S2 = b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
Площадь боковой поверхности пирамиды равна:
Sбок = 2S1 + S2
Sбок = 2 * b2 sin β cos β / ( 2 ( 1 + cos β ) cos φ ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
Sбок = b2 sin β cos β cos φ / ( 1 + cos β ) + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
Sбок = ( b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ ) / ( 1 + cos β )
Sбок = b2 sin β cos β cos φ ( 1 + cos β ) / ( 1 + cos β )
Sбок = b2 sin β cos β cos φ
Откуда площадь полной поверхности пирамиды с равнобедренным треугольником в основании составит:
S = Sбок + Sосн
S = b2 sin β cos β cos φ + b2 cos2 β sin β cos φ / ( 1 + cos β )
1) Если О - центр правильного треугольника АВС, то СМ - его высота,
АВ⊥СМ.
DO⊥АВС, значит DO перпендикулярна любой прямой этой плоскости, ⇒
АВ⊥DO.
АВ перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DOC, значит перпендикулярна плоскости. Значит прямая АВ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости DOC, ⇒
АВ⊥DC.
2) АВ = АС по условию, ∠DAC = ∠DAB по условию, DA - общая сторона для треугольников DAC и DAB, значит эти треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, ⇒ DC = DB, т.е. ΔDCB равнобедренный.
Пусть Н - середина ВС. Тогда
ВС⊥АН, так как медиана АН равнобедренного треугольника АВС является и высотой,
ВС⊥DH, так как ΔDCB тоже равнобедренный,
ВС перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости DAH, значит перпендикулярна самой плоскости, значит перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, в том числе и AD.
ответ: угол между прямыми AD и ВС равен 90°.