Так как в условии не оговорено положение точки М, будем считать ее серединой любой из сторон треугольника АВС. Приведенное решение только для условия с этим предположением.
Сделаем дополнительные построения: соединим вершину перпендикуляра D с вершинами треугольника АВС. Тогда получится правильная пирамида АВСD с боковыми ребрами DA=DB=DC (так как точка О - центр правильного треугольника АВС, то отрезки DA, DB и DC равны, как наклонные к плоскости, проведенные из одной точки, проекции которых равны - радиусы описанной окружности ).
Соединим точку М с противоположной вершиной С. Тогда МС - высота правильного треугольника АВС и по его свойствам МС - высота и медиана.
Следовательно, точка О делит отрезок МС в отношении 2:1, считая от вершины С. Треугольник DOM - пифагоров и МО=3. Тогда ОС=6, а DC=√(DO²+OC²) = √(16+36) = √52 = 2√13.
Найдем сторону треугольника АВС. МС=МО+ОС = 3+6=9. Из прямоугольного треугольника АМС по Пифагору: МС² = АС²- АС²/4 => 81*4=3*АС² => АС=6√3. Тогда периметр треугольника АВС равен 18√3 ед.
АС1/С1В=1/1, ВА1/А1С=3/7, АВ1/В1С=1/3, S A1B1C1=S ABC - S AC1B1 - S C1BA1 - S A1CB1, обе части уравнения делим на S ABC
S A1B1C1 / S ABC = 1 - (S AC1B1/S ABC) - (S C1BA1/ S ABC) - (S A1CB1/S ABC)
S ABC=1/2*AB*AC*sinA, S AB1C1=1/2*AC1*AB1*sinA, AB=AC1+C1B=1+1=2, AC=AB1+B1C=1+3=4, S AB1C1/S ABC=(AC1*AB1)/(AB*AC)=(1*1)/(2*4)=1/8,
S ABC=1/2*AB*BC*sinB, S C1BA1=1/2*C1B*BA1*sinB, BC=BA1+A1C=3+7=10,
S C1BA1/S ABC=(C1B*BA1)/(AB*BC)=(1*3)/(2*10)=3/20,
S ABC=1/2*AC*BC*sinC, S A1CB1=1/2*A1C*B1C*sinC, S A1CB/S ABC=(A1C*B1C) / (AC*BC)=(7*3)/(4*10)=21/40,
S A1B1C1/S ABC=1-1/8-3/20-21/40=8/40=1/5, или S ABC/S A1B1C1=5/1
Так как в условии не оговорено положение точки М, будем считать ее серединой любой из сторон треугольника АВС. Приведенное решение только для условия с этим предположением.
Сделаем дополнительные построения: соединим вершину перпендикуляра D с вершинами треугольника АВС. Тогда получится правильная пирамида АВСD с боковыми ребрами DA=DB=DC (так как точка О - центр правильного треугольника АВС, то отрезки DA, DB и DC равны, как наклонные к плоскости, проведенные из одной точки, проекции которых равны - радиусы описанной окружности ).
Соединим точку М с противоположной вершиной С. Тогда МС - высота правильного треугольника АВС и по его свойствам МС - высота и медиана.
Следовательно, точка О делит отрезок МС в отношении 2:1, считая от вершины С. Треугольник DOM - пифагоров и МО=3. Тогда ОС=6, а DC=√(DO²+OC²) = √(16+36) = √52 = 2√13.
Найдем сторону треугольника АВС. МС=МО+ОС = 3+6=9. Из прямоугольного треугольника АМС по Пифагору: МС² = АС²- АС²/4 => 81*4=3*АС² => АС=6√3. Тогда периметр треугольника АВС равен 18√3 ед.
ответ: Рabc = 18√3. AD=BD=DC = 2√13 ед.