Т.к. трапеция ABCD равнобоковая то углы при основаннии равны A=D=45. Проведем из вершин B и C высоты BK и CF. Получим 2 прямоугольных треугольника ABK и DCF а также прямоугольник KBCF. Т.к. A=D=45 то прямоугольные треугольники равнобедренные => BK=AK и CF=DF. Т.к по определению прямоугольник-это параллелограмм с 1 прямым углом а в нем противоположные стооны равны => BC=KF=8см . Треугольник ABK= треугольнику DCF (по гипотенузе и острому углу) а в равных треугольниках соответственные стороны равны AK=BK=DF=CF=(12-8)/2=2см ответ:BK=CF=2 см
Я решил сохранить эту задачу. а) EFGH и FMHN - параллелограммы. У EFGH стороны параллельны диагоналям четырехугольника ABCD. Действительно, EF II AC как средняя линия ΔABC; GH II AC как средняя линия ΔABD; EH II BD как средняя линия ΔABD; FG II BD как средняя линия ΔBCD; То есть EF II GH II AC; FG II EH II BD; и EF = GH = AC/2; FG = EH = BD/2; У четырехугольника FMHN стороны параллельны сторонам ABCD. FM II AB как средняя линия ΔABC; NH II AB как средняя линия ΔABD; FN II DC как средняя линия ΔDBC; MH II DC как средняя линия ΔACD . У параллелограммов диагонали делятся пополам в точке пересечения. У этих параллелограммов, кроме EG и MN, есть общая диагональ FH. Поэтому все три отрезка EG, FH и MN пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам. б) Если AC = BD; и они взаимно перпендикулярны, то EFGH - квадрат (смотри п. а)) Это означает, что отрезки EG и FH тоже равны между собой и взаимно перпендикулярны, как диагонали квадрата. (Кроме того, они составляют с диагоналями ABCD углы в 45°, в решении это не используется, но для общей картины полезно заметить). То есть, если между MN и FH угол α; то между EG и FH угол 90° - α; Площадь параллелограмма равна d1*d2*sin(α)/2; где d1 и d2 - диагонали параллелограмма, а α - угол между ними. С учетом EG = FH; отношение площадей параллелограммов EMGN и FMHN равно sin(90° - α)/sin(α) = ctg(α);
а) EFGH и FMHN - параллелограммы.
У EFGH стороны параллельны диагоналям четырехугольника ABCD. Действительно, EF II AC как средняя линия ΔABC; GH II AC как средняя линия ΔABD; EH II BD как средняя линия ΔABD; FG II BD как средняя линия ΔBCD;
То есть EF II GH II AC; FG II EH II BD; и EF = GH = AC/2; FG = EH = BD/2;
У четырехугольника FMHN стороны параллельны сторонам ABCD. FM II AB как средняя линия ΔABC; NH II AB как средняя линия ΔABD; FN II DC как средняя линия ΔDBC; MH II DC как средняя линия ΔACD .
У параллелограммов диагонали делятся пополам в точке пересечения.
У этих параллелограммов, кроме EG и MN, есть общая диагональ FH. Поэтому все три отрезка EG, FH и MN пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
б) Если AC = BD; и они взаимно перпендикулярны, то EFGH - квадрат (смотри п. а))
Это означает, что отрезки EG и FH тоже равны между собой и взаимно перпендикулярны, как диагонали квадрата.
(Кроме того, они составляют с диагоналями ABCD углы в 45°, в решении это не используется, но для общей картины полезно заметить).
То есть, если между MN и FH угол α; то между EG и FH угол 90° - α;
Площадь параллелограмма равна d1*d2*sin(α)/2; где d1 и d2 - диагонали параллелограмма, а α - угол между ними.
С учетом EG = FH; отношение площадей параллелограммов EMGN и FMHN равно sin(90° - α)/sin(α) = ctg(α);