Из точки D, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр DC и две равные наклонные DA и DB. Известно, что наклонные равны 4 см и ∠CDB=32°. Найдите перпендикуляр DC и проекцию наклонной AC.
Объяснение:
DC-перпендикуляр к плоскости , DA и DB-наклонные, DA=DB=4 см, CA-проекция наклонной DA.
1)ΔDСВ-прямоугольный , т.к. DC⊥α ( значит любой прямой лежащий в этой плоскости)
cos∠CDB=DС/DВ , cos32°=DС/4 ,DС=4cos32° ;
sin∠CDB=CВ/DВ , sin32°=CВ/4 , СВ=4sin32°.
2)ΔDAC=ΔDBC как прямоугольные по катету и гипотенузе:
Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.
1) ∠ADC+∠BCD=180º (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD); 2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º; 3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике COD ∠COD=90º; 4) таким образом, треугольник COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу. 5) треугольник СОD (по теореме Пифагора): CD^2 = CO^2 + OD^2 CD = корень [CO^2 + OD^2] = корень [3^2 + 4^2] = 5 6) Обозначим CF = m тогда FD = 5-m OF = r (радиус) Треугольник СFО (по теореме Пифагора): r^2 + m^2 = OC^2 r^2 + m^2 = 3^2 откуда r^2 = 9 - m^2
Из точки D, не принадлежащей плоскости α, проведены к этой плоскости перпендикуляр DC и две равные наклонные DA и DB. Известно, что наклонные равны 4 см и ∠CDB=32°. Найдите перпендикуляр DC и проекцию наклонной AC.
Объяснение:
DC-перпендикуляр к плоскости , DA и DB-наклонные, DA=DB=4 см, CA-проекция наклонной DA.
1)ΔDСВ-прямоугольный , т.к. DC⊥α ( значит любой прямой лежащий в этой плоскости)
cos∠CDB=DС/DВ , cos32°=DС/4 ,DС=4cos32° ;
sin∠CDB=CВ/DВ , sin32°=CВ/4 , СВ=4sin32°.
2)ΔDAC=ΔDBC как прямоугольные по катету и гипотенузе:
катет DC-общий, гипотенузы DA=DB поусловию⇒CA=CD=4sin32°.
Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции.
1) ∠ADC+∠BCD=180º (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых AD и BC и секущей CD);
2) так как точка O — точка пересечения биссектрис углов трапеции, то ∠ODF+∠OCF=1/2∙(∠ADC+∠BCD)=90º;
3) так как сумма углов треугольника равна 180º, то в треугольнике COD ∠COD=90º;
4) таким образом, треугольник COD прямоугольный, а OF — высота, проведенная к гипотенузе, CF и FD — проекции катета OC и OD на гипотенузу.
5) треугольник СОD (по теореме Пифагора):
CD^2 = CO^2 + OD^2
CD = корень [CO^2 + OD^2] = корень [3^2 + 4^2] = 5
6) Обозначим CF = m
тогда FD = 5-m
OF = r (радиус)
Треугольник СFО (по теореме Пифагора):
r^2 + m^2 = OC^2
r^2 + m^2 = 3^2
откуда r^2 = 9 - m^2
7) Треугольник ОFD (по теореме Пифагора):
r^2 + (5-m)^2 = OD^2
r^2 + (5-m)^2 = 4^2
Подставим из 6):
9 - m^2 + (5-m)^2 = 4^2
9 - m^2 + 5^2 - 2*5*m + m^2 = 4^2
9 + 25 - 10m = 16
10m = 18
m = 1.8
8) Подставим результат в 6):
r^2 = 9 - m^2 = 9 - 1,8^2 = 5,76
9) площадь круга S = П*r^2 = 5,76П ~ 18,096