Решите : продолжения боковых сторон ав и cd трапеции abcd пересекаются в точке m. укажите коэффициент гомотетии с центром в точке m, при которой отрезок bc является образом отрезка ad если ab : bm = 7 : 2​

Задача решается двумя Графически и алгебраически.
приложение №1):
Через точку С проводим диаметр окружности. Обозначаем его СМ. Проводим отрезок АМ. В треугольнике АМС угол А прямой (МС диаметр вписанного прямоугольного треугольника). АВДМ - трапеция (АМ||ВД), углы АВМ и АДМ равны (опираются на одну хорду АМ). Трапеция АВДМ - равнобедренная, АВ=МД=3 см.
Треугольник МСД прямоугольный. МД=3 см, ДС=4 см, МС=√(3³+4³)=5 см.
 Радиус 5/2=2,5 см.

приложение №2):
Радиус описанной окружности вокруг четырехугольника, равен радиусу описанной окружности любого треугольника, образованного сторонами этого четырехугольника.
Радиус описанной окружности -
R=a/2sinα , где а - сторона треугольника, α - противолежащий угол.
Рассматриваем треугольник НВС, где Н точка пресечения диагоналей.
Прямоугольный, угол Н (по условию), угол В - β, угол С - (90-β).
R=СД/2sinβ=2/sinβ;
R=АВ/2sin(90-β)=3/2cosβ.
Делим одно выражение на другое.
3/2cosβ * sinβ/2=3tgβ/4=1, tgβ=4/3
R=2/sin(atgβ)=2.499999=2.5 см.

Сказка о трех признаках равенства треугольников
жила – была королева планиметрия.
посватались к ней 2 короля: δ авс и δ а1в1 с1
и предложили ей руку и сердце.
-к сожалению, вынуждена вам отказать. догадайтесь, какая черта вашего характера мне не по душе, хотя в жизни на практике она необходима.
три дня и 3 ночи вместе думали короли δавс и δ а1в1 с1
т.к они были братьями.
тогда им решил сын старшей сестры-теоремы-1 признак равенства треугольников:
-если 2 стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равен двум сторонам и углу между ними другого треугольника ,то такие треугольники равны.
но ничего плохого тут не было.тогда на королям треугольникам пришел сын средней сестры -теоремы- 2 признак равенства треугольников:
-если сторона и 2 прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и 2 прилежащим к ней углам другого треугольника ,то такие треугольники равны.
и здесь ничего плохого не было. но королева все равно была хмурая.
наконец, сын младшей сестры-теоремы-3 признак равенства треугольников воскликнул:
-если 3 стороны одного треугольника соответственно равны 3сторонам другого треугольника ,то такие треугольники равны.
королева планиметрия встрепенулась ,но, увы, все было не то.
короли снова призадумались, т.к. они же братья, и все у них должно получиться! решили они позвать на двух своих милых сестер и младшего брата.
первая сестра –медиана- была серьезная, она прошла легкой поступью и заявила:
- отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника. я нужна и необходима при решении , и разве из-за этого можно отказать моим братьям?
-действительно, сказали братья, медиана права, планиметрия согласилась. -опять не то.
затем, стремительно влетела вторая сестра-биссектриса- она то и дело бегала по углам и делила их пополам. биссектриса вбежала и протароторила: -отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника
все удивились ,а королева планиметрия громко ,от души засмеялась и сказала:
-какая у вас короли, чудесная сестра, разве я могу из-за этого вам отказать?
-да? ! успокоились короли.
-но что же делать? как нам все-таки узнать, о, прекрасная королева, что ты имела в виду?
и тут, уверенным и быстрым шагом заходит любимый, младший брат королей: высота. он серьезно объявляет:
-перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой,содержащей противоположную сторону,называется высотой треугольника!
все встали, затаив дыхание, думая, наконец-то, свершилось, мы узнали! (немая сцена).
через минуту королева рухнула на трон и произнесла:
-я была уверена, что вы сразу догадаетесь, и хотела вам признаться, но вы меня заинтриговали пригласив столько своих родственников .скажу вам ,дорогие мои треугольники ,не обижайтесь на меня. , я всех вас полюбила, всю вашу семью и у меня уже есть жених-это принц,ваш троюродный брат- сумма углов треугольника .
и тут стремительно вбегает принц.
-сумма углов треугольника=180градусов.(все громко хлопают).
королева признается, что имела в виду свойство-жесткость фигуры.
- вы короли, жесткие фигуры. именно жесткость сначала отпугнула меня .
но я вижу, какие вы умные, доброжелательные, д ружные, а это свойство-жесткость треугольника не может являться недостатком, ведь оно-широко используется на практике.( примеры).
говорит теорема.
-так. чтобы закрепить столб в вертикальном положении, к нему ставят подпорку. такой же принцип используется при установке крон штейна)(стр.40 учебника-сделать плакат)
наконец-то все облегченно вздохнули. и короли треугольники произнесли свои любимые свойства ,с которыми никогда не надо расставаться при изучении .
треугольник авс произнес: 1)в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.2)в равнобедренном треугольнике биссектриса,проведенная к основанию,является медианой и высотой.
треугольник а1в1 с1 произнес: 1)сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.2)катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов равен половине гипотенузы.
а королева планиметрия и теорема ,в заключение, воскликнули:
- друзья! - самое важное ваша дружба, а ученикам вы все важны, дополняя друг друга, вы ученикам решать любые , они должны знать вас и помнить.
все дружно захлопали в ладоши и сказали друг другу
-! а короли крепко обнялись, т. к. они были братьями.