Основание параллелепипеда - квадрат, значит диагонали основания равны между собой и равны Do=а√2. Заметим, что малая диагональ сечения равна диагонали основания - как противоположные стороны прямоугольника, то есть dc=а√2. Значит сторона сечения тоже равна а√2 (так как острый угол ромба равен 60°, а это значит что треугольник, образованный сторонами ромба и его малой диагональю, равносторонний). Итак, b=а√2. Найдем большую диагональ сечения (ромба). Половина этой диагонали находится по Пифагору: Dc/2=√[b²-(d/2)²]=√[2a²-(2a²/4)]=√[2a²-(a²/2)]=√[(3a²/2)]=a√(3/2)=a√6/2. Тогда Dс=a√6. Найдем значение отрезка СС2 - расстояние, на котором плоскость сечения пересекает ребро параллелепипеда СС1. По Пифагору СС2=√(Dс²-Do²)=√(6a²-2a²)=2a. Угол между двумя пересекающимися плоскостями - это двугранный угол, образованный полуплоскостями и измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). Тогда синус угла наклона плоскости сечения к плоскости основания (или угол между ними) равен отношению СС2 к большой диагонали сечения Dс, то есть угол наклона плоскости сечения к плоскости основания равен α=arcSin(2a/а√6) или α=arcSin (√6/3). Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Тогда угол наклона бокового ребра АА1 параллепипеда к плоскости сечения равен 90°- α. Но Sin(90-α)=Сosα, а Cosα=√(1-6/9)=√3/3. В силу параллельности всех боковых ребер параллелепипеда, они все наклонены к плоскости сечения под этим углом. Итак, угол наклона бокового ребра параллелепипеда к плоскости сечения равен arcCos(√3/3). Расстояние от точки О до плоскости сечения равно ОН= АО*Sinα=(а√2/2)*(√6/3)=а√3/3. Опустим перпендикуляр DD2 из точки D на плоскость сечения. Тогда DD2=OH=а√3/3. АD2 - это проекция ребра АD на плоскость сечения. Значит <D2AD - это угол между ребром АD и плоскостью сечения. Sin<(D2AD)=(DD2/AD)=(а√3/3)/a= √3/3. В силу симметричности ребер АD и АВ относительно диагонали АС основания и в силу попарной параллельности ребер обоих оснований, они все наклонены к плоскости сечения под этим углом. Итак, угол наклона ребер основания параллелепипеда к плоскости сечения равен arcSin(√3/3).
ответ: угол наклона боковых ребер параллелепипеда к плоскости сечения равен arcCos(√3/3). угол наклона ребер основания параллелепипеда к плоскости сечения равен arcSin(√3/3).
Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр. делит его на отрезки. разность длин которых равна 5 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна 6 см.
————————————
ответ: 6,5 см
Объяснение:
Обозначим диаметр АВ, точку на окружности - С. Перпендикуляр СН будет высотой прямоугольного треугольника АСВ с углом С=90°, т.к. вписанный угол АСВ опирается на диаметр.
Примем длину отрезка АН=х, тогда ВН=х+5
Высота прямоугольного треугольника из прямого угла есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу. ⇒
СН²=АН•ВН ⇒ 36=х•(х+5), откуда получим квадратное уравнение х²+5х-36=0
По т.Виета
сумма корней приведенного квадратного трехчлена x*²+ p x + q = 0 равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену .
Заметим, что малая диагональ сечения равна диагонали основания - как противоположные стороны прямоугольника, то есть dc=а√2.
Значит сторона сечения тоже равна а√2 (так как острый угол ромба равен 60°, а это значит что треугольник, образованный сторонами ромба и его малой диагональю, равносторонний).
Итак, b=а√2.
Найдем большую диагональ сечения (ромба). Половина этой диагонали находится по Пифагору:
Dc/2=√[b²-(d/2)²]=√[2a²-(2a²/4)]=√[2a²-(a²/2)]=√[(3a²/2)]=a√(3/2)=a√6/2.
Тогда Dс=a√6.
Найдем значение отрезка СС2 - расстояние, на котором плоскость сечения пересекает ребро параллелепипеда СС1.
По Пифагору СС2=√(Dс²-Do²)=√(6a²-2a²)=2a.
Угол между двумя пересекающимися плоскостями - это двугранный угол, образованный полуплоскостями и измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям).
Тогда синус угла наклона плоскости сечения к плоскости основания (или угол между ними) равен отношению СС2 к большой диагонали сечения Dс, то есть угол наклона плоскости сечения к плоскости основания равен α=arcSin(2a/а√6) или α=arcSin (√6/3).
Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.
Тогда угол наклона бокового ребра АА1 параллепипеда к плоскости сечения равен 90°- α. Но Sin(90-α)=Сosα, а Cosα=√(1-6/9)=√3/3.
В силу параллельности всех боковых ребер параллелепипеда, они все наклонены к плоскости сечения под этим углом.
Итак, угол наклона бокового ребра параллелепипеда к плоскости сечения равен arcCos(√3/3).
Расстояние от точки О до плоскости сечения равно ОН= АО*Sinα=(а√2/2)*(√6/3)=а√3/3.
Опустим перпендикуляр DD2 из точки D на плоскость сечения. Тогда DD2=OH=а√3/3. АD2 - это проекция ребра АD на плоскость сечения.
Значит <D2AD - это угол между ребром АD и плоскостью сечения.
Sin<(D2AD)=(DD2/AD)=(а√3/3)/a= √3/3.
В силу симметричности ребер АD и АВ относительно диагонали АС основания и в силу попарной параллельности ребер обоих оснований, они все наклонены к плоскости сечения под этим углом.
Итак, угол наклона ребер основания параллелепипеда к плоскости сечения равен arcSin(√3/3).
ответ: угол наклона боковых ребер параллелепипеда к плоскости сечения равен
arcCos(√3/3).
угол наклона ребер основания параллелепипеда к плоскости сечения равен
arcSin(√3/3).
Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на диаметр. делит его на отрезки. разность длин которых равна 5 см. Найдите радиус окружности, если длина перпендикуляра равна 6 см.
————————————
ответ: 6,5 см
Объяснение:
Обозначим диаметр АВ, точку на окружности - С. Перпендикуляр СН будет высотой прямоугольного треугольника АСВ с углом С=90°, т.к. вписанный угол АСВ опирается на диаметр.
Примем длину отрезка АН=х, тогда ВН=х+5
Высота прямоугольного треугольника из прямого угла есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу. ⇒
СН²=АН•ВН ⇒ 36=х•(х+5), откуда получим квадратное уравнение х²+5х-36=0
По т.Виета
сумма корней приведенного квадратного трехчлена x*²+ p x + q = 0 равна его второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение - свободному члену .
х₁+х₂= -5
х₁•х₂= -36
36=4•9. ⇒ х₁=-9, х₂=4 (-9+4=-5) Отрицательный корень отбрасываем.
Следовательно, х=4, х+5=9. Диаметр АВ=4+9=13, R=13:2=6,5 см
------------
Ясно, что найти корни уравнения можно через дискриминант с тем же результатом.