По сути, у ромба диагонали пересекаются под прямым углом, все стороны равны, тогда и треугольники (их 4), образованные диагоналями и сторонами тоже будут равны. рассмотрим один такой треугольник (назовём его АВО, где О - точка пересечения диагоналей, АВ - сторона ромба), он будет прямоугольным, т.к. (уже говорилось выше) диагонали пересекаются под прямым углом. этот угол в данном треугольнике - АОВ. площадь этого треугольника = 1/2 АО*ВО (это катеты). так и все остальные треугольники. площадь всего ромба = сумма площадей всех треугольников. тогда Sabcd = 4*1/2*АО*ВО = 2*АО*ВО. а т.к. АО=1/2 АС, а ВО=1/2 ВD, Sabcd = 2* 1/2*АС *1/2*ВD = 1/2 АС*ВD. что и требовалось доказать.
Выведем некие следствия,так как у нас трапеция равнобедренная то боковые стороны равны, пусть одна боковая сторона равна , то другая следовательно тоже равна . Так как у нас диагональ перпендикулярна, иными словами под 90 гр, то пусть большое основание равна , тогда справедлива теорема Пифагора ! У равнобедренной трапеций углы при оснований равны, то пусть в прямоугольном треугольнике , образованным диагональю нашей трапеций равен , то другой угол равен , и пусть угол при меньшем оснований равны ,то в сумме тогда , по теореме косинусов выразим диагональ. и в прямоугольном треугольнике , следует что , большое основание равна Решим систему . Я сразу привел все в порядок решим Приводя подобные , получим Теперь нужно найти высоту, а высота как известно в прямоугольном треугольнике, равна произведению катетов на гипотенузу, то есть
У равнобедренной трапеций углы при оснований равны, то пусть в прямоугольном треугольнике , образованным диагональю нашей трапеций равен
тогда , по теореме косинусов выразим диагональ.
и в прямоугольном треугольнике , следует что , большое основание равна
Решим систему . Я сразу привел все в порядок
решим
Приводя подобные , получим
Теперь нужно найти высоту, а высота как известно в прямоугольном треугольнике, равна произведению катетов на гипотенузу, то есть