решите Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 8 см, а диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.
Добрый день! Я рад помочь вам с вашим вопросом. Давайте решим его пошагово.
1. Нам дано, что сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 8 см.
2. Мы также знаем, что диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 60°.
3. Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму, нам необходимо найти высоту цилиндра и радиус его основания.
Давайте начнем с нахождения высоты цилиндра:
4. Обратимся к боковой грани призмы. Так как угол между диагональю и основанием равен 60°, мы можем разделить его пополам и получить два прямоугольных треугольника.
5. Так как в одном из этих треугольников один из углов равен 90°, а гипотенуза равна 8 см (сторона основания), мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника.
6. Высота треугольника может быть найдена по формуле h = √(a^2 - b^2), где a - гипотенуза, b - катет.
В нашем случае, гипотенуза a равна 8 см, а у нас есть равнобедренный треугольник, поэтому катеты равны между собой. Назовем этот катет x.
7. Используя формулу, получаем h = √(8^2 - x^2).
Теперь перейдем к нахождению радиуса основания цилиндра:
8. Поскольку вписанный цилиндр касается всех боковых граней призмы, его высота должна быть равна высоте треугольника, которую мы только что нашли.
9. Также, по определению вписанного цилиндра, его основание должно быть параллельно основанию призмы.
10. Рассмотрим основание цилиндра. Оно представляет собой прямоугольный треугольник с катетами x и высотой h.
11. Поскольку прямоугольный треугольник подобен треугольнику, образованному одной из сторон призмы, отношение сторон основания цилиндра к сторонам основания призмы будет константным.
12. Поэтому, отношение сторон будет равно отношению сторон треугольников.
13. Отношение катетов прямоугольных треугольников будет равно x/8, а отношение гипотенуз будет равно (x^2 + h^2)/8.
Теперь у нас есть два равенства с одной неизвестной, x:
x/8 = (x^2 + h^2)/8
14. Решим это уравнение. Умножим оба выражения на 8, чтобы убрать знаменатель:
x = x^2 + h^2
15. Теперь переместим все в одну сторону уравнения и перепишем его в квадратном виде:
x^2 - x + h^2 = 0
16. Это квадратное уравнение, которое мы можем решить, используя дискриминант.
Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -1, c = h^2.
Значение дискриминанта позволит нам определить, есть ли решения или нет.
17. Если D > 0, то есть два различных решения. Если D = 0, то есть одно решение. Если D < 0, то решений нет.
Так как D зависит от h^2, мы можем сказать, что если h > 0, то D > 0, и у нас будет два различных решения.
Теперь рассмотрим площадь боковой поверхности цилиндра.
18. Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле S = 2πrh, где π - число Пи, r - радиус основания, h - высота цилиндра.
Теперь, имея значение радиуса r и высоты h, мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.
Это подробное решение должно помочь вам понять, как найти площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму, с учетом всех деталей и объяснений. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь!
1. Нам дано, что сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна 8 см.
2. Мы также знаем, что диагональ боковой грани образует с плоскостью основания угол 60°.
3. Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму, нам необходимо найти высоту цилиндра и радиус его основания.
Давайте начнем с нахождения высоты цилиндра:
4. Обратимся к боковой грани призмы. Так как угол между диагональю и основанием равен 60°, мы можем разделить его пополам и получить два прямоугольных треугольника.
5. Так как в одном из этих треугольников один из углов равен 90°, а гипотенуза равна 8 см (сторона основания), мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты треугольника.
6. Высота треугольника может быть найдена по формуле h = √(a^2 - b^2), где a - гипотенуза, b - катет.
В нашем случае, гипотенуза a равна 8 см, а у нас есть равнобедренный треугольник, поэтому катеты равны между собой. Назовем этот катет x.
7. Используя формулу, получаем h = √(8^2 - x^2).
Теперь перейдем к нахождению радиуса основания цилиндра:
8. Поскольку вписанный цилиндр касается всех боковых граней призмы, его высота должна быть равна высоте треугольника, которую мы только что нашли.
9. Также, по определению вписанного цилиндра, его основание должно быть параллельно основанию призмы.
10. Рассмотрим основание цилиндра. Оно представляет собой прямоугольный треугольник с катетами x и высотой h.
11. Поскольку прямоугольный треугольник подобен треугольнику, образованному одной из сторон призмы, отношение сторон основания цилиндра к сторонам основания призмы будет константным.
12. Поэтому, отношение сторон будет равно отношению сторон треугольников.
13. Отношение катетов прямоугольных треугольников будет равно x/8, а отношение гипотенуз будет равно (x^2 + h^2)/8.
Теперь у нас есть два равенства с одной неизвестной, x:
x/8 = (x^2 + h^2)/8
14. Решим это уравнение. Умножим оба выражения на 8, чтобы убрать знаменатель:
x = x^2 + h^2
15. Теперь переместим все в одну сторону уравнения и перепишем его в квадратном виде:
x^2 - x + h^2 = 0
16. Это квадратное уравнение, которое мы можем решить, используя дискриминант.
Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -1, c = h^2.
Значение дискриминанта позволит нам определить, есть ли решения или нет.
17. Если D > 0, то есть два различных решения. Если D = 0, то есть одно решение. Если D < 0, то решений нет.
Так как D зависит от h^2, мы можем сказать, что если h > 0, то D > 0, и у нас будет два различных решения.
Теперь рассмотрим площадь боковой поверхности цилиндра.
18. Площадь боковой поверхности цилиндра можно найти по формуле S = 2πrh, где π - число Пи, r - радиус основания, h - высота цилиндра.
Теперь, имея значение радиуса r и высоты h, мы можем найти площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.
Это подробное решение должно помочь вам понять, как найти площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму, с учетом всех деталей и объяснений. Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать их. Я готов помочь!