Решите треугольник авс, если: угол а=60⁰, угол в = 40⁰, с=14 см.

1.
Радиус  r вписанной в прямоугольный треугольник определяется по формуле : r =(a+b-c)/2 =(3+4 -√(3²+4²))/2 =(3+4-5)/2 =1.
S =π*r₁² ⇒  r₁ =√(S/π)=√(25/8π) =√((25/4)/2π) = √6,25/√(2π)  < 1 = r.
значит можно.
2. Не может.
k₁ , 2k₁ ; k₂ , 2k₂ ; k₃ , 2k₃ .
Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 1 : 2  ⇒BE = k₂ , EC  =  2k₂  ;  BC=3k₂.
CF : FA   =  1 : 2 ⇒CF = k₃ , FA  =  2k₃  ; AC =3k₃.
DB =BE ⇒k₂ =2k₁ ;
EC =CF ⇒k₃ =2k₂ =4k₁ .
AB =3k₁; BC =3k₂ =6k₁ ; AC =3k₃=3*4k₁ =12k₁
⇒ AB+BC< AC ,что невозможно.

Если :
AD : DB  = 1 : 2  ⇒AD = k₁ , DB  = 2k₁  ;  AB =3k₁.
BE : EC  = 2 : 1  ⇒BE = 2k₂ , EC  =  k₂  ;  BC=3k₂.
DB =BE ⇒2k₁=2k₂ ⇒AB =BC тогда  точка касания  F середина  AC.

3) Поставьте на конце диаметра ВО точку Д. Диаметр ВД делит окружность на две равные дуги: ∪ВАД = ∪ВСД = 180°.

Равные хорды окружности отделяют равные дуги ⇒ ∪ВА=∪ВС,

тогда ∪АД=180°-∪ВА, ∪СД=180°-∪ВС=180°-∪ВА , получили, что

∪АД=∪СД. Но на эти равные дуги опираются вписанные углы

∠1  и ∠2    ⇒∠1 =∠2 . Ч.т.д.

6) Соединим точки О и А, а также О и В.

 ΔОАК=ΔОВК по гипотенузе и катету (∠ОКА=∠ОКВ=90° по условию,ОА=ОВ как радиусы одной окружности, ОК- общий катет).

Из равенства треугольников следует, что КА=КВ. Ч.т.д.

2) ΔОКА=ΔОКВ по третьему признаку равенства треугольников

(АК=КВ по условию, ОК- общая сторона, ОА=ОВ как радиусы одной окружности).

Из равенства треугольников следует, что ∠ОКА=∠ОКВ, но

∠ОКА и ∠ОКВ- смежные и ∠ОКА+∠ОКВ=180° по свойству смежных углов ⇒   ∠ОКА=∠ОКВ=180°:2=90°. Ч.т.д.