Решите В треугольнике АВС <С = 90°, АВ = 13 см, АС = 5 см. Найдите: 1) sinB; 2) tgA. 2.Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника АВС (<С=90°) если ВС = 6 см, cosB = 37. 3.Найдите значение выражения sin²37° + cos²37° - sin²45°.

Так как в условии не указано расположение точек М и N на стороне ВС, существует два варианта решения:
1. Биссектрисы углов параллелограмма отсекают от него равнобедренные треугольники (свойство).
Значит треугольники АВМ и DCN равнобедренные и АВ=ВМ, а CN=CD. CD=AB, как противоположные стороны параллелограмма, тогда
АВ=ВМ=CN и АВ+ВС=3*АВ+8=22 (половина периметра). Отсюда
АВ=14/3=4и2/3см, а ВС=22-14/3=52/3=17и1/3см.
ответ: АВ=CD=4и2/3см.  ВС=AD=17и1/3см.

2. АВ=ВМ, DC=CN=AB. Тогда ВС=АВ+МC или
ВС=АВ+(АB-MN), а АВ+ВС=3*АВ-8 = 22. Отсюда
ответ: АВ=CD=10см, ВС=AD=12см.

В угол вписана окружность с радиусом 6 см. Расстояние от её центра до вершины угла равно 30 см. Найдите радиус меньшей окружности, которая касается сторон угла и данной й окружности.
-------
Пусть центр данной окружности будет О, точка её касания с верхней стороной угла В.
 Пусть центр меньшей окружности будет С, точка касания окружностей друг с другом - М
Соединим центр О большей окружности с точкой касания. 
Проведем СК ⊥ ВО. 
СО=r+6 
КО=6-r 
Из подобия треугольников АОВ и СОК (прямоугольные с общим острым углом)  следует отношение 
АО:СО=ВО:КО 
30:(6+r)=6:(6-r) 
36+6r=180-30r 
36r=144 
r=144:36 
r=4 cм