Проведем МА⊥α и МВ⊥β. МА = 12 - расстояние от М до α, МВ = 16 - расстояние от М до β.
Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С. МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а. МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а. Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒ а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла; а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.
Вспомним свойство касательной : Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания(образует 90*). Проведем из центра окружности О два радиуса в точки А и В , у нас получился равносторонний треугольник ОАВ - все углы по 60*. Обозначим на касательной для удобства две точки К и С,как показано на рисунке( они расположены в противоположных сторонах от точки А). ∠ОАК =90* ∠ОАВ=60* ∠ВАК=∠ОАК -∠ОАВ ∠ВАК=90*-60* ∠ВАК=30* Мы нашли угол, образованный хордой АВ, длина которой равна радиусу окружности, и касательной, проходящей через точку А. Но хорда АВ и касательная КС также образуют ∠ОАС, найдём его. ∠ОАС и ∠ВАК это смежные углы, их сумма 180* ∠ОАС= 180*-∠ВАК ∠ОАС= 180*-30* ∠ОАС= 150*
МА = 12 - расстояние от М до α,
МВ = 16 - расстояние от М до β.
Пусть плоскость АМВ пересекает ребро двугранного угла - прямую а - в точке С.
МА⊥α, а⊂α, значит МА⊥а.
МВ⊥β, а⊂β, значит МВ⊥а.
Так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости АМВ, то она перпендикулярна этой плоскости, следовательно она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, ⇒
а⊥АС, а⊥ВС, ⇒∠АСВ = 90° - линейный угол двугранного угла;
а⊥МС, ⇒ МС - искомое расстояние.
МАСВ - прямоугольник, АС = МВ = 16.
Из прямоугольного треугольника АМС по теореме Пифагора:
МС = √(МА² + АС²) = √(16² + 12²) = √(256 + 144) = √400 = 20
Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания(образует 90*).
Проведем из центра окружности О два радиуса в точки А и В , у нас получился равносторонний треугольник ОАВ - все углы по 60*.
Обозначим на касательной для удобства две точки К и С,как показано на рисунке( они расположены в противоположных сторонах от точки А).
∠ОАК =90*
∠ОАВ=60*
∠ВАК=∠ОАК -∠ОАВ
∠ВАК=90*-60*
∠ВАК=30*
Мы нашли угол, образованный хордой АВ, длина которой равна радиусу окружности, и касательной, проходящей через точку А.
Но хорда АВ и касательная КС также образуют ∠ОАС, найдём его.
∠ОАС и ∠ВАК это смежные углы, их сумма 180*
∠ОАС= 180*-∠ВАК
∠ОАС= 180*-30*
∠ОАС= 150*