Решите задачи:
1) Дано п прямых. Известно, что есть пять точек, каждая из которых
принадлежит хотя бы двум из данных прямых. Найдите наименьшее
значение п.
2) На плоскости отмечено 10 точек. Известно, что по любым чо
тирьох точек можно изъять одну так, что остальные три точки лежат на одной прямой. Докажите, что девять из данных точек лежат на одной прямой.
Для начала, предположим, что каждая прямая проходит через по меньшей мере две точки. Если это так, то общее количество точек будет не меньше, чем 2p (поскольку у нас имеется p прямых). Однако, по условию, у нас есть всего 5 точек. Это противоречие, значит наше предположение неверно.
Теперь введем два случая:
- Случай 1: Пусть есть какая-то прямая, содержащая 4 или более точки. В таком случае, мы знаем, что остальные точки также должны быть на этой же прямой, так как каждая точка принадлежит хотя бы двум прямым (включая эту прямую). Таким образом, мы можем сказать, что наименьшее значение p будет равно 1.
- Случай 2: Пусть каждая прямая проходит через по меньшей мере одну, но не более, чем три точки. В таком случае, наименьшее значение p будет равно 2. Давайте объясним это подробнее. Если на каждую прямую попадает только одна точка, у нас будет p точек и p прямых. Если на каждую прямую попадает по две точки, у нас будет 2p точек и p прямых. Но по условию у нас всего 5 точек. То есть 2p точек не могут быть меньше или равны 5, что означает, что p должно быть больше или равно 3. Следовательно, наименьшее значение p равно 2.
Итак, наименьшее значение p будет равно 1 или 2, в зависимости от того, какая из двух ситуаций возникает.
2) Чтобы доказать, что девять из данных точек лежат на одной прямой, давайте введем метод индукции.
Пусть у нас имеется 10 точек, и мы знаем, что для любых трех точек мы можем изъять одну так, чтобы оставшиеся лежали на одной прямой (это предположение верно для 3 точек).
Теперь возьмем первые 4 точки (A, B, C и D). По предположению, мы можем изъять одну точку, скажем D, так, чтобы оставшиеся точки (A, B и C) лежали на одной прямой.
Теперь рассмотрим следующие две точки (E и F). Мы можем избрать одну из точек E и F и оставить шесть точек (A, B, C и оставшиеся точки) лежат на одной прямой.
Продолжая этот процесс, мы можем заметить, что для каждой пары, добавленной к остальным точкам, мы можем изъять одну из них, так чтобы оставшиеся точки лежали на одной прямой.
После 9 шагов у нас останется только одна точка, которая, очевидно, тоже будет лежать на этой прямой.
Таким образом, мы доказали, что девять из данных точек лежат на одной прямой.