Решите задачу.
Дан равнобедренный треугольник ΔABC. Отрезок ОК проведен таким образом, что KO = OB и
∠KOB – прямой. Найдите значения углов ∠BAC, ∠BCA, ∠ABC.
∠ABC = ?
∠BCA = ?
∠BAC = ?

Дано: АВСD

∠DАВ  = ∠АВС = 60° ;

∠САВ  = ∠СВD­­­­­            

Док-ть:  АD + СВ = АВ Решение.
    Продолжим стороны ВС И АD от точек С и D до пересечения в точке О.       Полученный  Δ АОВ – равносторонний, т.к. ∠DАВ  = ∠АВС = 60° по условию, значит, и ∠АОВ = 180° – 60° – 60° = 60°.    
    Из равенства углов следует равенство сторон:     АВ = ОВ = АО     
    Рассмотрим   ΔАВС и ΔВОD;  ∠АВС = ∠ВОD = 60°; ∠САВ = ∠СВD по условию, стороны между углами также равны: АВ = ОВ. ⇒       
     ΔАВС = ΔВОD
     Из равенства треугольников следует:   CВ = ОD    
    Но АО = ОD +  АD, заменив АО на АВ, а ОD на СB получим:      
     АВ = CВ + АD, что и требовалось доказать! 

    Решение с рисунком дано в приложении.

1) Проведем медиану AP, ⇒ CP = PB.

2) AO:OP = 2:1 (по свойству пересекаемых медиан)

3) ΔCOB — прямоугольный, т.к. CO⊥BO (CO∈CK, BO∈BE, CK⊥BE по условия задачи)

4) OP — медиана ΔCOB, т.к.  ΔCOB — прямоугольный, CP = PB, а медиана делит сторону, на которую опущена, только в прямоугольном треугольнике, и эта сторона — гипотенуза, а угол, с которого проведена медиана — прямой.

Следовательно, OP = 1/2CB, или OP:CB = 1:2

5) AP:CB = (AO+OP):CB = (2+1):2 = 3:2.

ответ: отношение третьей медианы к соответствующий стороне — 3:2.