Пусть AM — медиана треугольника ABC , D — середина отрезка AM, E — точка пересечения прямой CD со стороной AB . Оказалось, что BD = BM. Докажите, что ∠BAD = ∠MDC.
Биссектрисы смежных углов перпендикулярны. [Сумма смежных углов равна 180°; угол между биссектрисами смежных углов равен полусумме смежных углов, т.е. 90°.] ∠A1AO=∠A1BO=90°
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом. ∠AOB=90°
Если у четырехугольника три угла прямые, то он является прямоугольником. [Сумма углов четырехугольника равна 360°; 360°-90°·3=90°; четырехугольник, у которого противоположные углы равны, является параллелограммом; параллелограмм, у которого (хотя бы) один угол прямой, является прямоугольником.] ∠AA1B=90°
ΔCDB - прямоугольный. R=1/2·BC.(Радиус окружности ,описанной около прямоугольного треугольника = половине гипотенузы)
S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB·BC/AB·BC ⇒ S(ΔDBC)/S(ΔABC) = DB/BC (1)
S(ΔDBC)=1/2 DB·DC=1/2·DB·12=6·DB S(ΔDBC) = 6·DB
S(ΔABC)=1/2 AC·BE =1/2AC·10= 5·AC S(ΔABC)=5·AC
Получили,что S(ΔDBC)/ S(ΔABC) = 6·DB /5·AC (2)
Следовательно, DB / BC = 6·DB / 5·AC ⇒ 5AC=6BC (3)
Из Δ ВЕС найдём ЕС =х по т. Пифагора : ЕС²=ВС²-ВЕ²
х²=а²-10² ⇒ х=√а²-100 АС=2х=2·√а²-100
Используем (3) равенство : 5 АС=6 ВС и АС=2х ⇒
5·2√а²-100 = 6а ⇒ 100·(а²-100)=36 а² ⇒ 64 а²=10000
а²=10000 / 64 ⇒ а=100 / 8 R = 1/2 a = 50/8 = 25 / 4
[Сумма смежных углов равна 180°; угол между биссектрисами смежных углов равен полусумме смежных углов, т.е. 90°.]
∠A1AO=∠A1BO=90°
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
∠AOB=90°
Если у четырехугольника три угла прямые, то он является прямоугольником.
[Сумма углов четырехугольника равна 360°; 360°-90°·3=90°; четырехугольник, у которого противоположные углы равны, является параллелограммом; параллелограмм, у которого (хотя бы) один угол прямой, является прямоугольником.]
∠AA1B=90°
Аналогично другие углы четырехугольника, образованного пересечением биссектрис смежных углов ромба, прямые.