Можно так. 1) Середина диагонали АС прямоугольника является точкой пересечения диагоналей, а также центром симметриии прямоугольника. Значит точка О делит отрезок РК пополам, тогда в ΔСОР =ΔАОК по двум сторонам и углу между ними (ОР=ОК, АО=ОС и углы РОС и АОК равны как вертикальные). Отсюда РС=АК, а также РСIIАК, Значит АРСК параллелогамм. 2) S(АРСК)=РС*CD, CD=√(AC²-AD²)=√(169-144)=5, PC=AK=4, S(АРСК)=4*5=20. 3) Проведем РМ II CD, РМ=5, КМ=8-4=4, РК=√(РМ²+КМ²)=√(25+16)=√41, 4) По теореме косинусов АК²=АО²+ОК²-2АО*ОК*cos(AOK). АК=4, АО=6,5, ОК=√41/2.
1) Середина диагонали АС прямоугольника является точкой пересечения диагоналей, а также центром симметриии прямоугольника. Значит точка О делит отрезок РК пополам, тогда в ΔСОР =ΔАОК по двум сторонам и углу между ними (ОР=ОК, АО=ОС и углы РОС и АОК равны как вертикальные). Отсюда РС=АК, а также РСIIАК, Значит АРСК параллелогамм.
2) S(АРСК)=РС*CD, CD=√(AC²-AD²)=√(169-144)=5, PC=AK=4, S(АРСК)=4*5=20.
3) Проведем РМ II CD, РМ=5, КМ=8-4=4, РК=√(РМ²+КМ²)=√(25+16)=√41,
4) По теореме косинусов АК²=АО²+ОК²-2АО*ОК*cos(AOK).
АК=4, АО=6,5, ОК=√41/2.
1. 1) ∠AOD=∠BOC=130° (вертикальные), значит ∪ ВС=130°(стягивает центральный угол).
2)∪ АВ=∪АС- ∪ВС=180°-130°=50°, значит
∠АСВ =50/2=25 °(вписанный не центральный угол)
2. 1) ∆ АВС- равнобедренный , значит ∠ А=∠С=(180°-177°)/2=1,5°.
2) ∪ ВС=1,5°·2=3° (стягивает вписанный угол), тогда ∠ВОС=3° (центральный угол )
3. 1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания,
значит ∠ ОКМ=90°-7°=83° .
2) ∆ ОКМ- равнобедренный (ОК=КМ=r) , значит ∠ОКМ=∠ОМK=83°.
4. 1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания,
значит ∠ ОКМ=90°-84°=6°
2) ∆ ОКМ- равнобедренный (ОК=КМ=r) , значит ∠ОКМ=∠ОМK=6°.
5. ∠ ABC =90°(вписанный), т.к ∪ АС=180° (опирается на диаметр АС). Тогда ∠С=180°-90°-75°=25°
6. 1) ∪ AN=73°·2=146° (стягивает вписанный ∠ NBA). Тогда
∪ NB =∪ AB-∪AN=180°-146°=34°.
2) ∠NMB=34°/2=17° (вписанный не центральный угол)
7. 1) ∆ АОВ- равнобедренный(АО=ОВ=r), значит ∠ОАВ=∠АВО=15°. Тогда ∠ОВС =56°-15°=41°.
2) ∆ ВОС- равнобедренный(ВО=ОС=r), значит ∠ОВС=∠ВСО=41°.
8. ∆ АОВ =∆ СОD (AO=OD=r, CO=OB=r, ∠AОВ =∠CОD-вертикальные ), значит ∠ОАВ =∠ОСD=25°