Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Доказательство.
Проведем высоты ВН и СЕ. Докажем, что S(ABCD) = AD · BH.
ΔАВН = Δ DCE - они прямоугольные и равны по гипотенузе (АВ = СD как противоположные стороны параллелограмма) и катету (ВН = СЕ как перпендикуляры, проведенные от одной из параллельных прямых к другой). Значит, равны и их площади (есть аксиома площади: равные фигуры имеют равные площади), т.е. S(ABH) = S(DCE).
Заметим, что S(ABCD) =S(ABCЕ) - S(DСЕ),
а также S(НBCЕ) = S(ABCЕ) - S(ABН).
Откуда следует, что S(ABCD) = S(НBCЕ) , т.к. выше доказано, что S(ABH) = S(DCE). Но НВСЕ - прямоугольник, а площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон (доказывается ранее при изучениии темы "Площпди многоугольников"), т.е. S(НBCЕ) =AD · BH.
Чтобы упростить задачу, уменьшим сначала треугольник в три раза, а в конце снова в три раза увеличим. Итак, мы считаем, что периметр равен 12, а один катет больше другого на 1. Конечно, тут же вспоминается египетский треугольник 3-4-5, который удовлетворяет обоим условиям . Других треугольников быть не может, так как если бы меньший катет был больше 3, то второй катет был бы больше 4, а тогда гипотенуза, сосчитанная по теореме Пифагора, была бы больше 5, а тогда периметр был бы больше 12. Аналогичное рассуждение про то, может ли меньший катет быть меньше 3.
Теперь, увеличив треугольник 3-4-5 в 3 раза, получаем треугольник 9-12-15
Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
Доказательство.
Проведем высоты ВН и СЕ. Докажем, что S(ABCD) = AD · BH.
ΔАВН = Δ DCE - они прямоугольные и равны по гипотенузе (АВ = СD как противоположные стороны параллелограмма) и катету (ВН = СЕ как перпендикуляры, проведенные от одной из параллельных прямых к другой). Значит, равны и их площади (есть аксиома площади: равные фигуры имеют равные площади), т.е. S(ABH) = S(DCE).
Заметим, что S(ABCD) =S(ABCЕ) - S(DСЕ),
а также S(НBCЕ) = S(ABCЕ) - S(ABН).
Откуда следует, что S(ABCD) = S(НBCЕ) , т.к. выше доказано, что S(ABH) = S(DCE). Но НВСЕ - прямоугольник, а площадь прямоугольника равна произведению двух его сторон (доказывается ранее при изучениии темы "Площпди многоугольников"), т.е. S(НBCЕ) =AD · BH.
Следовательно, и S(ABCD) = AD · BH.
Теорема доказана.
Других треугольников быть не может, так как если бы меньший катет был больше 3, то второй катет был бы больше 4, а тогда гипотенуза, сосчитанная по теореме Пифагора, была бы больше 5, а тогда периметр был бы больше 12. Аналогичное рассуждение про то, может ли меньший катет быть меньше 3.
Теперь, увеличив треугольник 3-4-5 в 3 раза, получаем
треугольник 9-12-15
ответ: 9; 12; 15