Обозначим вершины призмы АВСА₁В₁С₁. Так как призма правильная, то в её основании лежит равносторонний треугольник, поэтому АВ=ВС=АС, а также все боковые грани равны между собой и поскольку площадь основания равна площади одной из боковых граней, то все грани призмы будут равновеликими, и так как граней 5 (3 боковых и 2 грани основания), то площадь каждой грани, а также площадь основания составят:
Sгр.=80√3÷5=16√3(см²).
По формуле площади равностороннего треугольника найдём сторону основания:
где а – сторона треугольника, в нашем случае основания. Перемножим крест накрест:
а²√3=4S
a²√3=4×16√3
a²√3=64√3
a²=64√3÷√3
a²=64
a=√64
a=8(см) – сторона основания
Узнаем высоту призмы АА₁:
АА₁=ВВ₁=СС₁=S÷AC=16√3÷8=2√3(см)
Найдём объем призмы по формуле:
V=Sосн.×АА₁=16√3×2√3=32×3=96(см³)
ОТВЕТ: V=96(см³)
№4
Обозначим вершины призмы АВСДА₁В₁С₁С₁Д₁.
Найдём площадь основания АВСД по формуле:
Sосн=ВС×СД×sinC=4√3×4×sin30°=
=16√3×1/2=8√3(см²).
Сумма углов параллелограмма, прилегающих к одной стороне равна 180°, поэтому ∠В=∠Д=180–∠С=180–30=150°.
Проведём в основании диагональ АС и рассмотрим ∆АВС и найдём АС по теореме косинусов:
Объяснение:
№3
Обозначим вершины призмы АВСА₁В₁С₁. Так как призма правильная, то в её основании лежит равносторонний треугольник, поэтому АВ=ВС=АС, а также все боковые грани равны между собой и поскольку площадь основания равна площади одной из боковых граней, то все грани призмы будут равновеликими, и так как граней 5 (3 боковых и 2 грани основания), то площадь каждой грани, а также площадь основания составят:
Sгр.=80√3÷5=16√3(см²).
По формуле площади равностороннего треугольника найдём сторону основания:
где а – сторона треугольника, в нашем случае основания. Перемножим крест накрест:
а²√3=4S
a²√3=4×16√3
a²√3=64√3
a²=64√3÷√3
a²=64
a=√64
a=8(см) – сторона основания
Узнаем высоту призмы АА₁:
АА₁=ВВ₁=СС₁=S÷AC=16√3÷8=2√3(см)
Найдём объем призмы по формуле:
V=Sосн.×АА₁=16√3×2√3=32×3=96(см³)
ОТВЕТ: V=96(см³)
№4
Обозначим вершины призмы АВСДА₁В₁С₁С₁Д₁.
Найдём площадь основания АВСД по формуле:
Sосн=ВС×СД×sinC=4√3×4×sin30°=
=16√3×1/2=8√3(см²).
Сумма углов параллелограмма, прилегающих к одной стороне равна 180°, поэтому ∠В=∠Д=180–∠С=180–30=150°.
Проведём в основании диагональ АС и рассмотрим ∆АВС и найдём АС по теореме косинусов:
АС²=АВ²+ВС²–2×АВ×АС×cos150°=
=4²+(4√3)²–2×4×4√3×(–√3/2)=
=16+16×3+16√3×√3=16+48+16×3=64+48=112АС=√112=4√7(см).
Найдём через тангенс угла высоту СС₁:
СС₁=АС×tg60°=4√7×√3=4√21(см)
V=Sосн×СС₁=8√3×4√21=32√3×√21=
=32√63=32×3√7=96√7(см³)
ОТВЕТ: V=96√7(см³)