с геометрией Порядок выполнения:
1. Изобразите многогранник (тело вращения), выполнив чертёж схематически. На чертеже введите обозначения и покажите известные элементы многогранника (тела вращения).
2. Начертите развёртку многогранника, соответственно размерам.
3. Вычислите площадь полной поверхности многогранника (тела вращения).
4. Вычислите объём многогранника (тела вращения).
5. Запишите результаты решения, проверьте единицы измерения величин
Куб - Дано: а - 1 см
Прямоугольный параллелепипед - Дано: а - 1 см
Правильная четырёхугольна я пирамида - Дано: АВ - 1 см, l апофема - 2 см
Правильная четырёхугольна я усечённая пирамида - Дано: АВ- 1 см, А1В1-3 см
Конус - Дано: r l образующая - 2 см, 4 см
Цилиндр - Дано: r d диагональ осевого сечения -1 см, 3 см
Даны координаты вершин пирамиды:
A (1; -2;1) В (3;1; -2) С (2;2;5) D (-2;1;0).
Вычислить: 1) объем пирамиды.
Вектор АВ: x y z
2 3 -3 Модуль (длина) = √22 ≈ 4,690416.
Вектор АС: x y z
1 4 4 Модуль (длина) = √33 ≈ 5,744563.
Вектор AД: x y z
-3 3 -1 Модуль (длина) = √19 ≈ 4,358899.
Объем пирамиды равен (1/6) смешанного произведения векторов:
(AB{x1, y1, z1} ; AC{x2, y2, z2} ; AD{x3, y3, z3})= x3·a1+y3·a2+z3·a3.
Здесь a1, a2 и a3 это результаты векторного произведения АВхАС.
Подставив координаты точек, получим:
x y z
AB*AC = ( 24 -11 5).
АД= ( -3 3 -1).
Объём пирамиды равен:
V = (1/6)*|24*(-3) + (-11)*3 + 5*(-1)| = (1/6)*110 ≈ 18,3333.
2) длину ребра AB - дана выше ;
3) площадь грани ABC равна половине векторного произведения АВхАС. Выше получили: AB*AC = ( 24 -11 5).
S(ABC) = (1/2)*√(24² + (-11)² + 5²) = (1/2)√722 ≈ (1/2)26,87006 ≈ 13,43503.
4) угол между ребрами AB и AD .
AB = (2 3 -3), |AB| = √22.
АД= ( -3 3 -1), |AD| = √19 .
Скалярное произведение равно 2*(-3) + 3*3 + (-3)*(-1) = -6 +9 +3 = 6.
cos(AB∧AD) = 6/(√22*√19) = 6/√418 ≈ 6/20,44505 ≈ 0,29347.
Угол равен 1,272942 радиан или 72,93421 градуса.
Боковая сторона равна малому основанию, т.к. накрест лежащие углы при основаниях равны.
Периметр равен 22, малая сторона а, проекция боковой стороны на основание (22 - 4a)/2 = 11 - 2a
рассмотрим два прямоугольных треугольника, образованных высотой, проекцией боковой стороны на основание и для малинового - диагональю, для красного - боковой стороной.
Для малого
tg (β) = 3x/(11-2a)
Для большого
tg (2β) = 7x/(11-2a)
Разделим одно уравнение на другое
tg (2β)/tg (β) = (7x/(11-2a)) / (3x/(11-2a))
tg (2β)/tg (β) = 7/3
---
по формуле тангенса половинного угла
tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β))
---
2*tg (β) / (1 - tg² (β)) /tg (β) = 7/3
1 - tg² (β) = 6/7
tg² (β) = 1/7
tg (β) = 1/√7
tg (2β) = 2*tg (β) / (1 - tg² (β)) = 2/√7 / (1 - (1/√7)²) = 2/√7 * 7/6 = √7/3
---
выразим косинус двойного угла через тангенс β
cos (2β) = (1 - tg² (β)) / (1 + tg² (β)) = (1 - 1/7) / (1 + 1/7) = 6/7 / 8/7 = 3/4
Косинус двойного угла - это отношение проекции боковой стороны к боковой стороне
cos (2β) = (11-2a)/a = 3/4
44 - 8a = 3a
44 = 11a
a = 4
Это малое основание
Большое основание
b = 22 - 3*a = 22 - 12 = 10
Средняя линия
c = 1/2(a+b) = 1/2(4+10) = 7