Треугольник АВС - осевое сечение конуса. КР - проекция окружности касания шара, ВМ - высота конуса, КЕ=R, ∠КНА=α. Тр-ники КОЕ и НОМ подобны по трём углам (КР║АН, оба прямоугольные), ∠ЕКО=∠МОН=α. В тр-ке КО=КЕ/cosα=R/cosα. КО=МО - радиус шара. В тр-ке НОМ НО=МО/sinα=R/sinα·cosα. КН=КО+МО=R·(sinα+1)/(sinα·cosα)=2R(sinα+1)/sin2α. В тр-ке АКН ∠А=90-α. АО - биссектриса угла А. В тр-ке АОМ АМ=МО/tg(45-a/2)=R/(cosα·tg(45-α/2)). В четырёхугольнике АКОМ противолежащие углы К и М - прямые, прилежащие стороны КО и МО равны, значит он дельтоид, следовательно АМ=АК. Треугольники АВМ и АКН равны (АМ=АК, ∠А - общий и оба прямоугольные), значит ВМ=КН. Объём конуса: V=SH/3=π·АМ²·ВМ/3, V=2π·R³·(sinα+1)/[3sin2α·cos²α·tg²(45-α/2)] - это ответ.
Пусть трапеция АВСD, СН перпендикулярно AD.
Обозначим AD = a, ВС = b; CD = c; CH = h, HD = x.
Задано b/a =3/4;
Боковая сторона равна средней линии трапеции. Это - потому, что описанный четырехугольник, суммы противоположных сторон равны. c = (a + b)/2;
Легко видеть, что x = (a - b)/2; (кто не видит - проведите высоту из В)
Еще легче увидеть, что h^2 = a*b (ну, из теоремы Пифагора)
НЕ - высота в прямоугольном треугольнике СHD, поэтому она делит треугольник на два, ему же подобных.
Если обозначить y = ED и z = CE, то
у/x = x/c; y = x^2/c;
z/h = h/c; z = h^2/c;
y/z = x^2/h^2 = (a - b)^2/(4*a*b) = (1 - b/a)^2/(4*b/a) = (1/4)^2/3 = 1/48
Мда, чего то мало получилось
А если так - пусть а = 8; b = 6; x = 1; c = 7; h = корень(48); ну, вобщем, не удивительно, действительно 1/48.
Тр-ники КОЕ и НОМ подобны по трём углам (КР║АН, оба прямоугольные), ∠ЕКО=∠МОН=α.
В тр-ке КО=КЕ/cosα=R/cosα.
КО=МО - радиус шара.
В тр-ке НОМ НО=МО/sinα=R/sinα·cosα.
КН=КО+МО=R·(sinα+1)/(sinα·cosα)=2R(sinα+1)/sin2α.
В тр-ке АКН ∠А=90-α.
АО - биссектриса угла А.
В тр-ке АОМ АМ=МО/tg(45-a/2)=R/(cosα·tg(45-α/2)).
В четырёхугольнике АКОМ противолежащие углы К и М - прямые, прилежащие стороны КО и МО равны, значит он дельтоид, следовательно АМ=АК.
Треугольники АВМ и АКН равны (АМ=АК, ∠А - общий и оба прямоугольные), значит ВМ=КН.
Объём конуса: V=SH/3=π·АМ²·ВМ/3,
V=2π·R³·(sinα+1)/[3sin2α·cos²α·tg²(45-α/2)] - это ответ.