С ГЕОМЕТРИЙ Запишите уравнение окружности с центром в точке А(– 1 ; 4) и
точкой В( 2; 3) на окружности
3) Дан ∆АВС , А( 2 ; 4) В(– 2 ; 3) , С( 5 ; – 1)

Точку из которой проведены наклонные обозначим К. Опусти из неё на плоскость перпендикуляр КС. Точки пересечения наклонных с плоскостью А  и В. Получим отрезки наклонных АК, ВК и их проекции на плоскость АС  и ВС. Треуольники АКС и ВКС равны как прямоугольные по острому углу и катету (Ф и КС). Тогда их строны АК и ВК равны. Обозначим их Х. Соединим А и В. Угол АСВ по условию равен В. Углы КАС и КВС равны Ф. АС=ВС=Х*cos Ф. По теореме косинусов АВ квадрат=(Х*cos Ф)квадрат +(Х*cos Ф)квадрат -2*Х*cos Ф*Х*cosФ*cosВ. Это в треугольнике АСВ. В треугольнике АКВ  аналогично АВ квадрат=Х квадрат+Хквадрат-2*Х*Х* cos K. Приравниваем полученные выражения и получим cos K=1-(cos Ф)квадрат*(1-cos В). Где К искомый  угол АКВ между наклонными

    1.  В призме ABCA1B1C1   основания -  равносторонние треугольники, а боковые грани - прямоугольники, перпендикулярные основаниям. Угол между плоскостями АВС и А1ВС равен линейному углу между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к одной точке на ребре ВС. Это угол А1НА, т.к. высота  АН основания призмы перпендикулярна АВ,  является проекцией наклонной А1Н. По т.о 3-х перпендикулярах А1Н⊥ВС. ∆ АА1Н - прямоугольный.

А1А =А1С:2=2 см (противолежит углу 30°). АС=А1С•cos30°=2√3 см. АН=АС•sin60°=2√3•√3/2=3 см. tg∠A1AH=2/3

                                 *  *  *

2. S(CA1B)=A1H•BC:2.   A1H=√(AH²+AA1²)=√(2²+3²)=√13.   BC=AC=2√3. ⇒ S(CA1B)=0,5•2√3•√3=√39 см²

                                 *  *  *

3.  Данная призма прямая. По условию угол В1АВ=45°⇒ ВВ1=АВ•tg45°=2•1  В ∆ АВС катет ВС=АВ•sin30°=2•1/2=1. Катет АС=АB•cos30°=2•√3/2=√3.  Угол АСВ прямой.  АС - проекция А1С на плоскость ∆ АСВ.  По т. о 3-х перпендикулярах А1С⊥СВ. ⇒ ∆ А1СВ прямоугольный. По т.Пифагора А1С=√(AC²+AA1*)=√((√3)²+2)²=√7. S(A1CB)=0.5•A1C•CB=√7•1=0,5√7

                                     *  *  *

4. Призма ABCDA1B1C1D1 правильная, ⇒ АВСD - квадрат. АВ=А1В1=√S=√1.5. Ребра данной призмы равны ее высоте. Из прямоугольного СВВ1 по т.Пифагора диагональ боковой грани СВ1=√(BC²+BB1²)=√(1,5+64)=√65,5.   S(A1B1CD)=CD•CB1=(√1,5)•(√65,5)=√98,25 ≈ 9,912 см²

                                     *  *  *

5. Острый угол основания 60° ⇒ меньшая диагональ ромба  делит его на два равносторонних, поэтому равна его стороне и является проекцией меньшей диагонали призмы.  ВD=6 см. Большая диагональ основания АС равна удвоенной высоте правильного ∆ АВD. АС=2•АВ•sin60°=2•6•(√3/2)=6√3 см.

Угол В1DB=45°⇒ BB1=BD•tg45°=6 см. АА1 перпендикулярна основанию, ⇒ ∆ АА1С -  прямоугольный. По т.Пифагора А1С=√(AC²+AA1²)=√(36+108)=√144=12 см