с проверочной. Сижу на паре. Скоро сдавать 1. Боковая грань правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол, равный 60°. Найдите высоту пирамиды, если стороне основания равна 6.
2. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 9, а сторона основания равна 6. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
3. Найдите объем правильной шестиугольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 5, а радиус окружности, описанной около равен 4.
Для нахождения высоты пирамиды мы можем воспользоваться теоремой косинусов, которая гласит:
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)
Где a, b и c - это длины сторон треугольника, а A - угол между ними.
В нашем случае сторона основания равна 6, а угол между ней и боковой гранью равен 60°. Давайте обозначим сторону основания как b, а сторону, которую мы ищем, как c. Тогда у нас получится:
6^2 = c^2 + 6^2 - 2*c*6*cos(60°)
36 = c^2 + 36 - 12c*cos(60°)
36 = c^2 + 36 - 12c*(0.5)
36 = c^2 + 36 - 6c
0 = c^2 - 6c
Приводим квадратное уравнение к каноническому виду:
c^2 - 6c - 36 = 0
Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Можем воспользоваться формулой дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = (-6)^2 - 4*1*(-36)
D = 36 + 144
D = 180
Так как дискриминант положительный, у нас есть два действительных корня. Решим это уравнение:
c1 = (-b + √D) / (2a)
c1 = (6 + √180) / 2
c1 ≈ (6 + 13.42) / 2 ≈ 19.42 / 2 ≈ 9.71
c2 = (-b - √D) / (2a)
c2 = (6 - √180) / 2
c2 ≈ (6 - 13.42) / 2 ≈ -7.42 / 2 ≈ -3.71
Так как длина не может быть отрицательной, мы выбираем положительное значение c1 = 9.71 как ответ.
Ответ: Высота пирамиды равна примерно 9.71.
2. Для решения этой задачи нам необходимо найти площадь полной поверхности пирамиды, обозначим ее как S. Мы знаем, что апофема пирамиды равна 9 и сторона основания равна 6.
Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади боковой поверхности.
Площадь основания можно вычислить по формуле площади треугольника:
S_осн = (1/2)*a*b
где a и b - это стороны треугольника.
В нашем случае a = 6 и b = 6, так как это правильная четырехугольная пирамида, и все стороны основания равны.
S_осн = (1/2)*6*6 = 18
Площадь боковой поверхности можно вычислить по формуле:
S_бок = (периметр основания)*h/2
где периметр основания равен 4*a, так как это правильная четырехугольная пирамида.
Поскольку a = 6, периметр равен 4*6 = 24.
Теперь нам нужно найти высоту пирамиды h. У нас есть апофема, которую мы обозначим как r, и она равна 9. Для правильной четырехугольной пирамиды существует формула, связывающая апофему и высоту:
h^2 = r^2 - (a/2)^2
h^2 = 9^2 - (6/2)^2
h^2 = 81 - 9
h^2 = 72
h ≈ √72 ≈ 8.49
Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:
S_бок = (24*8.49)/2 ≈ 101.92
Наконец, мы можем найти площадь полной поверхности пирамиды:
S = S_осн + S_бок = 18 + 101.92 ≈ 119.92
Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды примерно равна 119.92.
3. Для решения этой задачи нам необходимо найти объем правильной шестиугольной пирамиды, обозначим его как V. Мы знаем, что боковое ребро пирамиды равно 5, а радиус окружности, описанной около пирамиды, равен 4.
Объем правильной шестиугольной пирамиды можно вычислить по формуле:
V = (1/3)*S_осн*h
где S_осн - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.
Высоту пирамиды мы можем найти, используя теорему Пифагора в основании пирамиды. Для треугольника с катетами a и b и гипотенузой c, теорема Пифагора гласит:
c^2 = a^2 + b^2
В нашем случае, мы можем разбить шестиугольную пирамиду на 6 равносторонних треугольников. Катеты этих треугольников будут равны половине бокового ребра пирамиды, то есть a = 5/2 и гипотенуза будет равна радиусу окружности, описанной около пирамиды, т.е. c = 4.
b^2 = c^2 - a^2
b^2 = 4^2 - (5/2)^2
b^2 = 16 - 25/4
b^2 = 64/4 - 25/4
b^2 = 39/4
b ≈ √(39/4) ≈ √(39)/2 ≈ 3.13
Теперь можем найти площадь основания пирамиды:
S_осн = (6*a*b)/2
S_осн = (6*(5/2)*3.13)/2
S_осн = (15*3.13)/2
S_осн ≈ 23.4
Теперь мы можем найти объем пирамиды:
V = (1/3)*23.4*h
Нам нужно найти высоту пирамиды, h. Мы можем использовать теорему Пифагора в боковой грани пирамиды. Разбив боковую грань на два прямоугольных треугольника, где катеты равны боковому ребру p/2 = 5/2 и гипотенуза равна радиусу окружности, описанной около пирамиды, т.е. r = 4, мы можем использовать теорему Пифагора:
h^2 = r^2 - (p/2)^2
h^2 = 4^2 - (5/2)^2
h^2 = 16 - 25/4
h^2 = 64/4 - 25/4
h^2 = 39/4
h ≈ √(39/4) ≈ √(39)/2 ≈ 3.13
Теперь мы можем вычислить объем пирамиды:
V = (1/3)*23.4*3.13
V ≈ (23.4*3.13)/3 ≈ 24.71
Ответ: Объем правильной шестиугольной пирамиды примерно равен 24.71.