, с решением, от (75)! 1. Даны точки А(-4; 1; 2), В(-2; 0; -1) и С(1; 1; 0). Найдите координаты точки D, принадлежащей плоскости yz, такой, что векторы AB и CD коллинеарны(ответ D(0; 1,5; 1,5), нужно решение! 2. Прикреплено фото(задача 43.53)(ответ x=1 или x=3, опять-таки нужно решение)
Добрый день! Рад представиться вам в роли школьного учителя и помочь с вашим вопросом.
Для решения этой задачи, нам необходимо применить знания о векторах и их проекциях на плоскость. Давайте рассмотрим пошаговое решение.
Шаг 1: Запись данных задачи
Мы знаем, что длина вектора AM равна 2, а длина вектора BM равна 5. Также, проекция вектора BM на плоскость Альфа в три раза больше, чем проекция вектора AM.
Шаг 2: Понимание проекции векторов на плоскость
Проекция вектора на плоскость - это длина проекции данного вектора на нормаль к плоскости. В данном случае, проекции AM и BM проходят через плоскость Альфа так, что их длины представляют собой расстояния от точек A и B до плоскости.
Шаг 3: Построение векторов и проекций
Давайте представим вектора AM и BM на декартовой плоскости. Для удобства, выберем начало координат в точке A. Тогда, координаты вектора AM будут (0, 0), а координаты вектора BM будут (2, 0) (с учетом длины вектора AM).
Теперь, по условию задачи, проекция BM на плоскость Альфа в три раза больше проекции AM. Пусть длина проекции AM равна АМ', а длина проекции BM равна ВМ'. Тогда, мы можем записать следующее: ВМ' = 3 * АМ'.
Шаг 4: Расчет координат проекций
Так как мы знаем координаты точек A (0, 0) и B (2, 0), и длины проекций BM и AM', мы можем рассчитать координаты М' и ВМ'. Для этого необходимо воспользоваться подобием треугольников.
Выразим координаты М' следующим образом: (x, y).
Применяя подобие треугольников, получаем:
x / 3 = 2 / 5 (отношение x к координате x точки В)
y / 3 = 0 / 5 (отношение y к координате y точки В)
Решая эти уравнения, получаем следующие координаты М': (6/5, 0).
Шаг 5: Расчет расстояния от М до плоскости
Теперь, когда у нас есть координаты точки М' (6/5, 0) и точки М (2, 0), мы можем найти расстояние между ними. Расстояние между двумя точками в декартовой плоскости найдется с помощью формулы расстояния между двумя точками:
Чтобы решить эту задачу, нам необходимо использовать геометрические знания о пересечении отрезка и плоскости, а также о растоянии между точками и плоскостью.
1. Длина отрезка VB равна 103–√ м. Это означает, что длина от точки V до точки B равна 103–√ м.
2. Расстояние от концов отрезка до плоскости соответственно равны 6 м и 9 м. Это означает, что расстояние от точки V до плоскости равно 6 м, а расстояние от точки B до плоскости равно 9 м.
3. Пусть точка O - точка пересечения отрезка VB и плоскости. Так как отрезок VB пересекает плоскость в точке O, то расстояние от точки V до плоскости равно расстоянию от точки O до плоскости, и аналогично расстояние от точки B до плоскости также равно расстоянию от O до плоскости. Таким образом, получаем следующее:
Расстояние от O до плоскости = 6 м = расстояние от V до плоскости
Расстояние от O до плоскости = 9 м = расстояние от B до плоскости
4. Зная, что длина отрезка VB равна 103–√ м, и расстояния от концов отрезка до плоскости, мы можем записать следующее:
Расстояние от V до O + Расстояние от O до B = Длина отрезка VB
6 м + Расстояние от O до B = 103–√ м
Расстояние от O до B = 103–√ м - 6 м
= 103–√ м - 6*100 см
= 103–√ м - 600 см
5. Зная, что длина отрезка VB равна 103–√ м, мы можем выразить расстояние от точки V до плоскости через расстояние от точки V до O и расстояние от O до плоскости:
Расстояние от V до плоскости = Расстояние от V до O + Расстояние от O до плоскости
= 6 м + 6 м
= 12 м
6. Аналогично можем выразить расстояние от точки B до плоскости:
Расстояние от B до плоскости = Расстояние от B до O + Расстояние от O до плоскости
= 9 м + Расстояние от O до B
= 9 м + (103–√ м - 600 см)
7. Зная, что расстояние от V до плоскости равно 12 м, а расстояние от B до плоскости равно 9 м + (103–√ м - 600 см), мы можем записать следующее:
12 м = 9 м + (103–√ м - 600 см)
8. Чтобы упростить решение, переведем все в одну систему измерения, например в сантиметры. Таким образом, получаем:
1200 см = 900 см + (103–√ м - 600 см)
9. Теперь составим уравнение:
1200 см = 900 см + (103–√ м - 600 см)
1200 см = 900 см + 103–√ м - 600 см
10. Упростив эту запись получаем:
1200 см = 400 см + 103–√ м
11. Перенесем 400 см на одну сторону уравнения и получим:
1200 см - 400 см = 103–√ м
12. Упростим:
800 см = 103–√ м
13. Возведем обе части уравнения в квадрат для упрощения корня:
(800 см)² = (103–√ м)²
640000 см² = (103–√ м)²
14. Раскроем скобки:
640000 см² = 103² – 2*103–√ м + (√ м)²
640000 см² = 10609 – 2*103–√ м + м
15. Перепишем это уравнение без применения реалии о метрах:
640000 = 10609 – 2*√ м + м
16. Перенесем все, что содержит м, на одну сторону уравнения:
640000 - 10609 = -2*√ м + м
629391 = -2*√ м + м
17. Теперь представим, что переменная, содержащаяся в этом уравнении, равна w:
629391 = -2*√ w + w
18. Упростим:
629391 = w - 2√ w
19. Теперь возьмем производную от обеих сторон уравнения:
d(629391)/dw = d(w - 2√ w)/dw
20. Справа у нас производная от суммы двух функций. Применим правило дифференцирования для суммы:
0 = 1 - (1/√ w)
21. Теперь решим это уравнение относительно √ w:
1/√ w = 1
22. Перенесем √ w на другую сторону уравнения:
√ w = 1
23. Возводим обе части уравнения в квадрат:
(√ w)² = 1²
w = 1
24. Таким образом, у нас есть два значения для w: w = 1 и w = 1.
25. Возвращаясь к нашей задаче, мы видим, что в первом уравнении используется значение √ м, которое эквивалентно √ w. Значит, мы можем записать:
√ м = √ 1
26. Записываем:
√ м = 1
27. Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
(√ м)² = 1²
м = 1
28. Таким образом, мы получили, что м = 1.
29. Теперь, когда мы знаем длину отрезка VB (103–√ м = 103–√ 1 = 103–1 = 102), можем использовать теорему косинусов для нахождения острого угла, который образует отрезок VB с плоскостью. Теорема косинусов гласит:
c² = a² + b² - 2ab*cos(C)
Где c - длина отрезка VB, a и b - расстояния от концов отрезка до плоскости, C - искомый угол.
В нашей задаче c = 102 м, a = 6 м, b = 9 м.
Подставляя значения в формулу, получаем:
102² = 6² + 9² - 2*6*9*cos(C)
10404 = 36 + 81 - 108*cos(C)
10404 = 117 - 108*cos(C)
-108*cos(C) = 10404 - 117
-108*cos(C) = 10287
cos(C) = -10287/108
cos(C) ≈ -95.25
30. Для того чтобы найти острый угол C, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус):
C = arccos(-95.25)
31. Угол C получается отрицательным, что означает, что он находится во второй или третьей четверти. Так как мы рассматриваем только острые углы, то у нас должен быть острый угол в третьей четверти.
Таким образом, угол C = 180° - arccos(-95.25) = 180° + arccos(95.25)
32. Вычислим значение угла C:
C ≈ 180° + 95.25°
C ≈ 275.25°
Ответ: Угол, который образует отрезок VB с плоскостью, равен примерно 275.25 градуса.
Для решения этой задачи, нам необходимо применить знания о векторах и их проекциях на плоскость. Давайте рассмотрим пошаговое решение.
Шаг 1: Запись данных задачи
Мы знаем, что длина вектора AM равна 2, а длина вектора BM равна 5. Также, проекция вектора BM на плоскость Альфа в три раза больше, чем проекция вектора AM.
Шаг 2: Понимание проекции векторов на плоскость
Проекция вектора на плоскость - это длина проекции данного вектора на нормаль к плоскости. В данном случае, проекции AM и BM проходят через плоскость Альфа так, что их длины представляют собой расстояния от точек A и B до плоскости.
Шаг 3: Построение векторов и проекций
Давайте представим вектора AM и BM на декартовой плоскости. Для удобства, выберем начало координат в точке A. Тогда, координаты вектора AM будут (0, 0), а координаты вектора BM будут (2, 0) (с учетом длины вектора AM).
Теперь, по условию задачи, проекция BM на плоскость Альфа в три раза больше проекции AM. Пусть длина проекции AM равна АМ', а длина проекции BM равна ВМ'. Тогда, мы можем записать следующее: ВМ' = 3 * АМ'.
Шаг 4: Расчет координат проекций
Так как мы знаем координаты точек A (0, 0) и B (2, 0), и длины проекций BM и AM', мы можем рассчитать координаты М' и ВМ'. Для этого необходимо воспользоваться подобием треугольников.
Выразим координаты М' следующим образом: (x, y).
Применяя подобие треугольников, получаем:
x / 3 = 2 / 5 (отношение x к координате x точки В)
y / 3 = 0 / 5 (отношение y к координате y точки В)
Решая эти уравнения, получаем следующие координаты М': (6/5, 0).
Шаг 5: Расчет расстояния от М до плоскости
Теперь, когда у нас есть координаты точки М' (6/5, 0) и точки М (2, 0), мы можем найти расстояние между ними. Расстояние между двумя точками в декартовой плоскости найдется с помощью формулы расстояния между двумя точками:
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
Применяя эту формулу, получаем:
d = sqrt((6/5 - 2)^2 + (0 - 0)^2)
= sqrt((6/5 - 2)^2)
= sqrt((16/25))
= 4/5
Таким образом, расстояние от точки M до плоскости Альфа равно 4/5.
Надеюсь, мое объяснение и решение были понятны и помогли вам!
Если у вас есть еще вопросы, буду рад помочь.
1. Длина отрезка VB равна 103–√ м. Это означает, что длина от точки V до точки B равна 103–√ м.
2. Расстояние от концов отрезка до плоскости соответственно равны 6 м и 9 м. Это означает, что расстояние от точки V до плоскости равно 6 м, а расстояние от точки B до плоскости равно 9 м.
3. Пусть точка O - точка пересечения отрезка VB и плоскости. Так как отрезок VB пересекает плоскость в точке O, то расстояние от точки V до плоскости равно расстоянию от точки O до плоскости, и аналогично расстояние от точки B до плоскости также равно расстоянию от O до плоскости. Таким образом, получаем следующее:
Расстояние от O до плоскости = 6 м = расстояние от V до плоскости
Расстояние от O до плоскости = 9 м = расстояние от B до плоскости
4. Зная, что длина отрезка VB равна 103–√ м, и расстояния от концов отрезка до плоскости, мы можем записать следующее:
Расстояние от V до O + Расстояние от O до B = Длина отрезка VB
6 м + Расстояние от O до B = 103–√ м
Расстояние от O до B = 103–√ м - 6 м
= 103–√ м - 6*100 см
= 103–√ м - 600 см
5. Зная, что длина отрезка VB равна 103–√ м, мы можем выразить расстояние от точки V до плоскости через расстояние от точки V до O и расстояние от O до плоскости:
Расстояние от V до плоскости = Расстояние от V до O + Расстояние от O до плоскости
= 6 м + 6 м
= 12 м
6. Аналогично можем выразить расстояние от точки B до плоскости:
Расстояние от B до плоскости = Расстояние от B до O + Расстояние от O до плоскости
= 9 м + Расстояние от O до B
= 9 м + (103–√ м - 600 см)
7. Зная, что расстояние от V до плоскости равно 12 м, а расстояние от B до плоскости равно 9 м + (103–√ м - 600 см), мы можем записать следующее:
12 м = 9 м + (103–√ м - 600 см)
8. Чтобы упростить решение, переведем все в одну систему измерения, например в сантиметры. Таким образом, получаем:
1200 см = 900 см + (103–√ м - 600 см)
9. Теперь составим уравнение:
1200 см = 900 см + (103–√ м - 600 см)
1200 см = 900 см + 103–√ м - 600 см
10. Упростив эту запись получаем:
1200 см = 400 см + 103–√ м
11. Перенесем 400 см на одну сторону уравнения и получим:
1200 см - 400 см = 103–√ м
12. Упростим:
800 см = 103–√ м
13. Возведем обе части уравнения в квадрат для упрощения корня:
(800 см)² = (103–√ м)²
640000 см² = (103–√ м)²
14. Раскроем скобки:
640000 см² = 103² – 2*103–√ м + (√ м)²
640000 см² = 10609 – 2*103–√ м + м
15. Перепишем это уравнение без применения реалии о метрах:
640000 = 10609 – 2*√ м + м
16. Перенесем все, что содержит м, на одну сторону уравнения:
640000 - 10609 = -2*√ м + м
629391 = -2*√ м + м
17. Теперь представим, что переменная, содержащаяся в этом уравнении, равна w:
629391 = -2*√ w + w
18. Упростим:
629391 = w - 2√ w
19. Теперь возьмем производную от обеих сторон уравнения:
d(629391)/dw = d(w - 2√ w)/dw
20. Справа у нас производная от суммы двух функций. Применим правило дифференцирования для суммы:
0 = 1 - (1/√ w)
21. Теперь решим это уравнение относительно √ w:
1/√ w = 1
22. Перенесем √ w на другую сторону уравнения:
√ w = 1
23. Возводим обе части уравнения в квадрат:
(√ w)² = 1²
w = 1
24. Таким образом, у нас есть два значения для w: w = 1 и w = 1.
25. Возвращаясь к нашей задаче, мы видим, что в первом уравнении используется значение √ м, которое эквивалентно √ w. Значит, мы можем записать:
√ м = √ 1
26. Записываем:
√ м = 1
27. Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:
(√ м)² = 1²
м = 1
28. Таким образом, мы получили, что м = 1.
29. Теперь, когда мы знаем длину отрезка VB (103–√ м = 103–√ 1 = 103–1 = 102), можем использовать теорему косинусов для нахождения острого угла, который образует отрезок VB с плоскостью. Теорема косинусов гласит:
c² = a² + b² - 2ab*cos(C)
Где c - длина отрезка VB, a и b - расстояния от концов отрезка до плоскости, C - искомый угол.
В нашей задаче c = 102 м, a = 6 м, b = 9 м.
Подставляя значения в формулу, получаем:
102² = 6² + 9² - 2*6*9*cos(C)
10404 = 36 + 81 - 108*cos(C)
10404 = 117 - 108*cos(C)
-108*cos(C) = 10404 - 117
-108*cos(C) = 10287
cos(C) = -10287/108
cos(C) ≈ -95.25
30. Для того чтобы найти острый угол C, мы можем использовать обратную функцию косинуса (арккосинус):
C = arccos(-95.25)
31. Угол C получается отрицательным, что означает, что он находится во второй или третьей четверти. Так как мы рассматриваем только острые углы, то у нас должен быть острый угол в третьей четверти.
Таким образом, угол C = 180° - arccos(-95.25) = 180° + arccos(95.25)
32. Вычислим значение угла C:
C ≈ 180° + 95.25°
C ≈ 275.25°
Ответ: Угол, который образует отрезок VB с плоскостью, равен примерно 275.25 градуса.