с заданиями от 5 до 7

Задача: В равнобедренном треугольнике ABC поведена высота BD к основанию AC. Длина высоты 8,5 см, длина боковой стороны — 17 см. Определить углы этого треугольника.  

AD = DC = 17/2 = 8,5

BD = AD = DC = 8,5 ⇒ ΔABD = ΔCBD — равнобедренные, прямоугольные, ∡BDA = ∡BDC = 90°

∡DAB = ∡DBA = ∡DCB = ∡DBC = 90/2 = 45°

∡ABC = ∡DBA + ∡DBC = 45+45 = 90°

ответ: ∡BAC = 45°,

          ∡BCA = 45°,

          ∡ABC = 90°.

Задача: В равнобедренном треугольнике ABC величина угла вершины ∡B = 30°. Определить угол основания AC с высотой AM, проведенной к стороне BC. ∡MAC - ?

Р-м ΔABC — равнобедренный.

∡A = ∡C = (180−∡B)/2 = (180−30)/2 = 75°.

Р-м ΔACM — прямоугольный

∡AMC = 90°, ∡ACM = ∡C = 75°. Исходя из теоремы о сумме углов треугольника, градусная мера угла ∡MAC будет равна:

∡MAC = 180−(∡AMC+∡ACM) = 180−(90+75) = 180−165 = 15°

ответ: ∡MAC = 15°.

Обозначим проекцию апофемы на основание за х.

Тогда проекция боковой стороны на основание будет 2х.

По Пифагору имеем - боковая сторона L равна:

L = √((2x)² + (√3)²)  = √(4x² + 3).

Апофема А равна √(x² + (√3)²)  = √(x² + 3).

Высота треугольника основания равна 3х.

Тогда сторона основания а = 3x/cos 30° = 3x/(√3/2) = 6x/√3 = 2√3x.

Но, так как сторона основания - это гипотенуза при двух катетах L, то можно выразить: a = √(2L²) = L√2 = √(4x² + 3)*√2 = √(8x² + 6).

Приравняем: √(8x² + 6) = 2√3x.   Возведём в квадрат:

8x² + 6 = 12x   или 4x² = 6  или 2x² = 3.

Отсюда находим х = √(3/2).

Теперь можно определить длину стороны основания, подставив значение х: а = 2√3*(√(3/2)) = 3√2.

Площадь основания So = a²√3/4 = 18√3/4 = 9√3/2 кв.ед.

ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*(9√3/2)*√3 = (9/2) куб.ед.