7) Примем диагональ d и высоту H, равные 2.
Тогда тангенс угла β наклона бокового ребра равен:
tg β = H/(d/2) = 2/1 = 2.
значит, β = arctg 2.
ответ В.
Тангенс наклона апофемы A равен: tg(A) = H/(1/√2) = 2√2.
ответ Г.
В треугольнике ASC боковые рёбра угол S делится высотой пополам.
Тогда угол ASC = 2arctg(1/2).
ответ Д.
8) Примем коэффициент пропорциональности длин сторон основания за к.
Полупериметр р = к(17+10+9)/2 = 18к.
Площадь боковой поверхности Sбок = PL = (2*18k)*16 = 36k*16.
Площадь основания по Герону:
So = √(18k*1k*8k*9k) = 36k².
Приравняем полную поверхность:
1440 = 2*36k² + 36k*16, после сокращения на 72 получаем:
k² + 8k – 20 = 0. D = 64 +4*20 = 144.
k1 = (-8 + 12)/2 = -10, не принимаем.
k2 = (-8 + 12)/2 = 2.
Находит площадь боковой поверхности Sбок = 36*2*16 = 1152 см².
ответ: Sбок = 1152 см².
9) Находим площади граней пирамиды.
p(ABC) = (13+14+15)/2 = 21 см. S(ABC) = √(21*8*7*6) = 84 см².
S(DAC) = (1/2)*9*13 = (117) см².
S(DAB) = (1/2)*9*15 = (135/2) см².
Находим высоту боковой грани BDC путём пересечения вертикальной плоскостью.
Сначала находим высоту основания из точки А.
h(A) = 2S/BC = 2*84/14 = 12 см.
Тогда h(BDC) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.
Получим S(BDC) = (1/2)14*15 = 105 см².
ответ: S = 84+ (117/2) + (135/2) + 105 = 315 см².
Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна всем прямым, лежащим на этой плоскости.
Следовательно угол АОВ=угол АОС=90°, значит ∆АОВ и ∆АОС – прямоугольные.
ВО+АС=3 см по условию. Пусть ВО=х, тогда АС=3–х.
В прямоугольном ∆АОВ по теореме Пифагора:
АВ²=АО²+ВО²
(√3)²=АО²+х²
АО²=3–х² (Ур 1)
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆АОС:
АС²=ОС²+АО²
(3–х)²=2²+АО²
АО²=9–6х+х²–4
АО²=х²–6х+5 (Ур 2)
Подставим значение АО² из уравнения 1 в уравнение 2, получим:
3–х²=х²–6х+5
2х²–6х+2=0
х²–3х+1=0
Д=(–3)²–4*1*1=9–4=5
Тогда ВО=1,5+√1,25 или ВО=1,5–√1,25
Катет прямоугольного треугольника всегда меньше гипотенузы, то есть ВО<АВ
1,5+√1,25<√3
1,5+1,118<1,732
2,618<1,732
Неверно
1,5–√1,25<√3
1,5–1,118<1,732
0,382<1,732
Верно, следовательно ВО=1,5–√1,25 см.
Тогда АС=3–(1,5–√1,25)=3–1,5+√1,25=1,5+√1,25
ответ: ВО=1,5–√1,25 см, АС=1,5+√1,25 см.
7) Примем диагональ d и высоту H, равные 2.
Тогда тангенс угла β наклона бокового ребра равен:
tg β = H/(d/2) = 2/1 = 2.
значит, β = arctg 2.
ответ В.
Тангенс наклона апофемы A равен: tg(A) = H/(1/√2) = 2√2.
ответ Г.
В треугольнике ASC боковые рёбра угол S делится высотой пополам.
Тогда угол ASC = 2arctg(1/2).
ответ Д.
8) Примем коэффициент пропорциональности длин сторон основания за к.
Полупериметр р = к(17+10+9)/2 = 18к.
Площадь боковой поверхности Sбок = PL = (2*18k)*16 = 36k*16.
Площадь основания по Герону:
So = √(18k*1k*8k*9k) = 36k².
Приравняем полную поверхность:
1440 = 2*36k² + 36k*16, после сокращения на 72 получаем:
k² + 8k – 20 = 0. D = 64 +4*20 = 144.
k1 = (-8 + 12)/2 = -10, не принимаем.
k2 = (-8 + 12)/2 = 2.
Находит площадь боковой поверхности Sбок = 36*2*16 = 1152 см².
ответ: Sбок = 1152 см².
9) Находим площади граней пирамиды.
p(ABC) = (13+14+15)/2 = 21 см. S(ABC) = √(21*8*7*6) = 84 см².
S(DAC) = (1/2)*9*13 = (117) см².
S(DAB) = (1/2)*9*15 = (135/2) см².
Находим высоту боковой грани BDC путём пересечения вертикальной плоскостью.
Сначала находим высоту основания из точки А.
h(A) = 2S/BC = 2*84/14 = 12 см.
Тогда h(BDC) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.
Получим S(BDC) = (1/2)14*15 = 105 см².
ответ: S = 84+ (117/2) + (135/2) + 105 = 315 см².
Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна всем прямым, лежащим на этой плоскости.
Следовательно угол АОВ=угол АОС=90°, значит ∆АОВ и ∆АОС – прямоугольные.
ВО+АС=3 см по условию. Пусть ВО=х, тогда АС=3–х.
В прямоугольном ∆АОВ по теореме Пифагора:
АВ²=АО²+ВО²
(√3)²=АО²+х²
АО²=3–х² (Ур 1)
По теореме Пифагора в прямоугольном ∆АОС:
АС²=ОС²+АО²
(3–х)²=2²+АО²
АО²=9–6х+х²–4
АО²=х²–6х+5 (Ур 2)
Подставим значение АО² из уравнения 1 в уравнение 2, получим:
3–х²=х²–6х+5
2х²–6х+2=0
х²–3х+1=0
Д=(–3)²–4*1*1=9–4=5
Тогда ВО=1,5+√1,25 или ВО=1,5–√1,25
Катет прямоугольного треугольника всегда меньше гипотенузы, то есть ВО<АВ
1,5+√1,25<√3
1,5+1,118<1,732
2,618<1,732
Неверно
1,5–√1,25<√3
1,5–1,118<1,732
0,382<1,732
Верно, следовательно ВО=1,5–√1,25 см.
Тогда АС=3–(1,5–√1,25)=3–1,5+√1,25=1,5+√1,25
ответ: ВО=1,5–√1,25 см, АС=1,5+√1,25 см.