Самостоятельная работа 1 (сист. координат н
та (сист. координат на плоскости; уравнение линии)
вариант 1
1. даны вершины треугольника а(2; -5), в(1; -2), c(4; 7).
а) найти периметр этого треугольника;
б) найти координаты середины стороны ab;
в) найти длину медианы, проведенной из вершины в;
г) найти площадь этого треугольника;
д) найти координаты точки m, делящей сторону вс в отношении 3: 1;
* e) найти координаты точки пересечения медиан этого треугольника.
2. даны точки а(1; 2) и b(4; 4). на оси ох найти точку с так, чтобы площадь
треугольника авс была равна 5.
3. в полярной системе координат даны точки а (8; - ) и в (6; б).
изобразить эти точки и найти полярные координаты середины отрезка ав.
4. линия на плоскости задана уравнением х? - 5y? — 4х + 5у +3 = 0.
а) какие из точек а(2; 1), в(1; 1), c(0; -2) лежат на этой линии?
б) найти точки пересечения этой линии с осью абсцисс.
5. даны три вершины а(1; -2), b(2; 3), c(5; 6) параллелограмма. вычислить
координаты четвертой вершины d.
6. * найти точки пересечения линий: y = рих? +y2 = 13.
ті
Треугольник ABC, высоты AA1; BB1; CC1; точка пересечения H;
Задано AH/HA1 = 1; BH/HB1 = 2; надо найти CH/HC1;
Теорема Ван-Обеля дает
AC1/C1B + AB1/B1C = AH/HA1 = 1;
BC1/C1A + BA1/A1C = BH/HB1 = 2;
Теорема Чевы (без учета ориентированности, что тут не важно) дает
(AC1/C1B)*(BA1/A1C)*(CB1/B1A) = 1;
А найти надо CH/HC1 = CB1/B1A + CA1/A1B;
Вот теперь надо что-то делать, чтобы можно было с этим работать.
Пусть AC1/C1B = a; BA1/A1C = b; CB1/B1A = c;
тогда вся эта абракадабра переписывается так
a + 1/c = 1;
1/a + b = 2;
abc = 1;
и надо найти c + 1/b;
теперь видно, что эту систему очень легко решить.
из второго уравнения 1 + ab = 2a; => 1/c = 2a - 1; тогда из первого получается 3a - 1 = 1; a =2/3; далее b = 1/2; c = 3;
c + 1/b = 5 = CH/HC1;
Вы проверьте, мало ли, я тут "в пол глаза" решаю, мог и что-то не так сделать.