Самостоятельная работа «Скалярное произведение векторов» (9 класс) Вариант 1
1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если = 2, = 3, а угол между ними равен 120°.
2. Вычислите скалярное произведение векторов и , если {3; –2}, {–2; 3}.
3. Вычислите косинус угла между векторами и , если {3; –4}, {15; 8}.
4. Даны векторы {2; –3} и {х; –4}. При каком значении х эти векторы перпендикулярны?
5. Найдите угол между ненулевыми векторами {х; у} и {–у; х}.
Самостоятельная работа «Скалярное произведение векторов» (9 класс)
Вариант 2
1. Вычислите скалярное произведение векторов и , если = 3, = 4, а угол между ними равен 135°.
2. Вычислите скалярное произведение векторов и , если {–4; 5}, {–5; 4).
3. Вычислите косинус угла между векторами и , если {–12; 5}, {3; 4}.
4. Даны векторы {3; у} и {2; –6}. При каком значении у эти векторы перпендикулярны?
5. Найдите угол между ненулевыми векторами {х; –у} и {y; х}.
Объяснение:
1) 9
2)3
3)1
4)2
5)5
Для вычисления скалярного произведения векторов, необходимо использовать следующую формулу:
= | | * | | * cos(θ), где | | и | | - длины векторов , θ - угол между ними.
Длина вектора вычисляется по формуле:
| | = √(x² + y²), где x и y - координаты вектора .
Исходя из данной задачи, мы уже знаем значения и : = 2 и = 3. Нам также дан угол между векторами, равный 120°.
Для начала, найдем длины векторов и .
| | = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13
| | = √(3² + 2²) = √(9 + 4) = √13
Теперь, используя формулу для скалярного произведения векторов, подставим полученные значения в формулу:
= | | * | | * cos(θ)
= √13 * √13 * cos(120°)
Для вычисления косинуса 120°, нам понадобится таблица значений тригонометрических функций или калькулятор. Значение косинуса 120° равно -1/2.
= √13 * √13 * (-1/2)
= 13 * (-1/2)
= -13/2
Таким образом, скалярное произведение векторов и равно -13/2.
2. Вычисление скалярного произведения векторов и , если {3; –2}, {–2; 3}.
Аналогично первому вопросу, вычислим длины векторов и .
| | = √(3² + (-2)²) = √(9 + 4) = √13
| | = √((-2)² + 3²) = √(4 + 9) = √13
Теперь вычислим скалярное произведение, подставив полученные значения в формулу:
= | | * | | * cos(θ)
= √13 * √13 * cos(θ)
У нас нет информации об угле между векторами , поэтому мы не можем найти точное значение скалярного произведения.
3. Вычисление косинуса угла между векторами и , если {3; –4}, {15; 8}.
Аналогично первым двум вопросам, вычислим длины векторов и .
| | = √(3² + (-4)²) = √(9 + 16) = √25 = 5
| | = √(15² + 8²) = √(225 + 64) = √289 = 17
Теперь, используя формулу для вычисления косинуса угла между векторами, подставим полученные значения:
cos(θ) = ( / | |) * ( / | |) = (3*15 + (-4)*8) / (5*17) = (45 - 32) / 85 = 13/85
Таким образом, косинус угла между векторами и равен 13/85.
4. При каком значении х векторы {2; –3} и {х; –4} перпендикулярны?
Для того чтобы векторы были перпендикулярными, скалярное произведение должно быть равно нулю.
Вычислим скалярное произведение векторов {2; –3} и {х; –4}.
= | | * | | * cos(θ) = (2*х + (-3)*(-4))
Подставим значения и:
(2*х + (-3)*(-4)) = 0
Раскроем скобки:
2*х + 12 = 0
Вычтем 12 из обеих сторон:
2*х = -12
Разделим обе стороны на 2:
х = -12/2 = -6
Таким образом, векторы {2; –3} и {х; –4} перпендикулярны при значении х равном -6.
5. Найдите угол между ненулевыми векторами {х; у} и {–у; х}.
Для вычисления угла между векторами, воспользуемся формулой:
cos(θ) = ( / | |) * ( / | |) = (х*(-у) + у*х) / (sqrt(х² + у²) * sqrt((-у)² + х²))
Угол θ равен арккосинусу (cos⁻¹) полученного значения.
Рассчитаем выражение:
(х*(-у) + у*х) = х*(-у) + у*х = -у² + у² = 0
Теперь расчитаем знаменатель:
sqrt(х² + у²) * sqrt((-у)² + х²) = sqrt(х² + у²) * sqrt(у² + х²) = sqrt((х² + у²)(у² + х²)) = sqrt((х² + у²)²) = х² + у²
Подставим полученные значения в формулу для cos(θ):
cos(θ) = (х*(-у) + у*х) / (sqrt(х² + у²) * sqrt((-у)² + х²)) = 0 / (х² + у²) = 0
Таким образом, угол между векторами {х; у} и {–у; х} равен 0 градусов или прямому углу.