Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".
Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.
По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.
Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости (рис. 1). Как известно, из точки А можно провести единственную прямую АH перпендикулярную плоскости α. Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, . В доказанной прямой и обратной теореме точка М (основание наклонной) лежала на прямой , лежащей в плоскости α. Давайте проведем в плоскости α другую прямую а, которая параллельна . Тогда углы между прямыми a, АМ, НМ не изменятся. И из перпендикулярности прямой а и прямой АМ будет вытекать перпендикулярность прямой а и прямой НМ и наоборот.
Рис. 5. 8. Задача 1 Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен . а) Найти наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. б) Найти перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.
Рис. 6. а) Дано:
Найти:
Решение: Итак, имеем плоскость α, точку А, (рис. 6). Вспомним, перпендикуляром называется отрезок АН, который проведен из точки А к плоскости , АМ – наклонная. Мы имеем треугольник АНМ. Этот треугольник прямоугольный. Для того чтобы найти гипотенузу АМ, нужно катет АН разделить на косинус прилежащего угла НАМ.
Определение: "Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость".
Опустим перпендикуляр С1Н на прямую СD1, лежащую в плоскости А1ВС (это плоскость А1ВСD1, так как секущая плоскость пересекает параллельные плоскости АА1В1В и DD1C1C по параллельным прямым А1В и D1C). Отрезок С1Н перпендикулярен любой прямой, проходящей через точку Н, лежащую в данной плоскости (свойство). Значит <C1HB=90° и искомый угол - это угол С1ВН - угол между наклонной ВС1 м ее проекцией ВН на плоскость А1ВС. В прямоугольном треугольнике С1ВН: синус угла С1ВН - это отношение противолежащего катета С1Н к гипотенузе ВС1.
По Пифагору D1C=√(D1C1²+CC1²) = √(36+64) = 10 ед (так как АВ=D1C1, a AA1=CC1, как боковые ребра параллелепипеда.
Точно так же ВС1=√(ВC²+CC1²) = √(225+64) = 17 ед.
Высота С1Н из прямого угла по ее свойству равна:
С1Н=(С1D1*CC1/D1C = 6*8/10 = 4,8 ед.
Тогда Sinα = C1H/BC1 = 4,8/17 ≈ 0,2823.
α = arcsin0,2823 ≈ 16,4°.
Рис. 5.
8. Задача 1
Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен .
а) Найти наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d.
б) Найти перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.
Рис. 6.
а) Дано:
Найти:
Решение:
Итак, имеем плоскость α, точку А, (рис. 6). Вспомним, перпендикуляром называется отрезок АН, который проведен из точки А к плоскости , АМ – наклонная.
Мы имеем треугольник АНМ. Этот треугольник прямоугольный. Для того чтобы найти гипотенузу АМ, нужно катет АН разделить на косинус прилежащего угла НАМ.
Найдем катет НМ.
ответ: АМ=d/cos,HM=dtg