Треугольник самая распространенная фигура. В лесу, когда мы смотрим на ель и ее тень, то перед нами представляется равнобедренный треугольник.
На магических символах.
Предметы обихода: треуголки, вырезы на одежде.
Музыкальные инструменты.
ТРЕУГОЛЬНИК, самозвучащий музыкальный инструмент — стальной прут, согнутый в виде треугольника, по которому ударяют палочкой. Применяется в оркестрах и инструментальных ансамблях.
“Египетский” треугольник
Среди бесконечного количества возможных прямоугольных треугольников, особый интерес всегда вызывали так называемые «пифагоровы треугольники», стороны которых являются целыми числами. Несомненно, «пифагоровы треугольники» также относятся к разряду «сокровищ геометрии», а поиски таких треугольников представляют одну из из интереснейших страниц в истории математики. Наиболее широко известным из них является прямоугольный треугольник со сторонами 4, 3 и 5. Он назывался также «священным» или «египетским», так как он широко использовался в египетской культуре
Всю эту задачу можно представить себе так. У нас есть равнобедренный треугольник с углом при вершине (2*альфа) (а при основании (90 - альфа)), и окружность описанная вокруг него. Потом все это "хозяйство" вращается вокруг оси симметрии треугольника (то есть вокруг медианы-биссектрисы-высоты к основанию. Получается конус, вписанный в шар. Надо найти отношение их объемов.
Задача решается так - выбирается за единицу длины какой-то размер, например, радиус R описанной вокруг треугольника окружности (он же - радиус шара). Надо выразить через него половину основания треугольника (это радиус основания конуса) и высоту h (это высота конуса).
Легче всего находится основание - из теоремы синусов
2*R*sin(2*альфа) = a. Поэтому радиус основания конуса r = a/2 = R*sin(2*альфа);
Легко видеть, что h/r = tg(90 - альфа) = ctg(альфа);
h = R*sin(2*альфа)*ctg(альфа) = 2*R*(cos(альфа))^2 = R*(1 + cos(2*альфа));
Объем шара 4*pi*R^3/3;
Объем конуса pi*r^2*h/3 = pi*R^3*(sin(2*альфа))^2*(1 + cos(2*альфа))/3; делим это на объем шара.
ответ (sin(2*альфа))^2*(1 + cos(2*альфа))/4
В принципе можно "повертеть" тригонометрию, но большого смысла в этом нет.
Треугольник самая распространенная фигура. В лесу, когда мы смотрим на ель и ее тень, то перед нами представляется равнобедренный треугольник.
На магических символах.
Предметы обихода: треуголки, вырезы на одежде.
Музыкальные инструменты.
ТРЕУГОЛЬНИК, самозвучащий музыкальный инструмент — стальной прут, согнутый в виде треугольника, по которому ударяют палочкой. Применяется в оркестрах и инструментальных ансамблях.
“Египетский” треугольник
Среди бесконечного количества возможных прямоугольных треугольников, особый интерес всегда вызывали так называемые «пифагоровы треугольники», стороны которых являются целыми числами. Несомненно, «пифагоровы треугольники» также относятся к разряду «сокровищ геометрии», а поиски таких треугольников представляют одну из из интереснейших страниц в истории математики. Наиболее широко известным из них является прямоугольный треугольник со сторонами 4, 3 и 5. Он назывался также «священным» или «египетским», так как он широко использовался в египетской культуре
Всю эту задачу можно представить себе так. У нас есть равнобедренный треугольник с углом при вершине (2*альфа) (а при основании (90 - альфа)), и окружность описанная вокруг него. Потом все это "хозяйство" вращается вокруг оси симметрии треугольника (то есть вокруг медианы-биссектрисы-высоты к основанию. Получается конус, вписанный в шар. Надо найти отношение их объемов.
Задача решается так - выбирается за единицу длины какой-то размер, например, радиус R описанной вокруг треугольника окружности (он же - радиус шара). Надо выразить через него половину основания треугольника (это радиус основания конуса) и высоту h (это высота конуса).
Легче всего находится основание - из теоремы синусов
2*R*sin(2*альфа) = a. Поэтому радиус основания конуса r = a/2 = R*sin(2*альфа);
Легко видеть, что h/r = tg(90 - альфа) = ctg(альфа);
h = R*sin(2*альфа)*ctg(альфа) = 2*R*(cos(альфа))^2 = R*(1 + cos(2*альфа));
Объем шара 4*pi*R^3/3;
Объем конуса pi*r^2*h/3 = pi*R^3*(sin(2*альфа))^2*(1 + cos(2*альфа))/3; делим это на объем шара.
ответ (sin(2*альфа))^2*(1 + cos(2*альфа))/4
В принципе можно "повертеть" тригонометрию, но большого смысла в этом нет.