Сделать чертеж: «В треугольнике АВС провели средние линии MN, MK, KN. Найдите периметр и
площадь треугольника MNK, если периметр
треугольника АВС равен 40 см, а его площадь равна
60 см2

1)
Рассмотрим 2 треугольника: АВВ1, АОС1:
- оба прямоугольные
- уголВАО общий
известно, что сумма острых углов прямоугольного треугольника величина постоянная (равна π/2), или:
уголАВВ1+уголВАВ1=уголАОС1+уголС1АО(=π/2), 
              очевидно: уголВАВ1≡уголС1АО(≡ВАО),                                                           уголАВВ1≡уголАВС, уголАОС1≡уголАОС⇒получаем:
уголАВС+уголВАО=уголАОС+уголВАО,
уголАВС=уголАОС, ч.т.д

или вот так:
уголВСС1=уголОСВ1 (вертикальные при пересекающихся ОС1иВВ1))
Тогда π/2-уголВСС1=π/2-уголОСВ1,
а из треугольников(прямоугольных) ΔВСС1, ΔОСВ1 получим, что эти углы равны тем которые нам надо сравнить:
уголАВС=уголАОС, ч.т.д

2) это утверждение верно, только если АС=СВ, то есть нам дан равнобедренный тупоугольный треугольник.

Высота Н трапеции равна:

Н = √(АВ² - (9-4)²) = √169 - 25) = √144 = 12.

Площадь S трапеции равна:

S = 12*((7+21)/2) = 12*14 = 168 кв.ед.

Объяснение:

Соединим центр окружности с вершинами трапеции и с точками касания.

Имеем подобные треугольники AOE и ОКВ, а также ДОЕ и ОСР (их стороны взаимно перпендикулярны).

Находим отрезки сторон у вершин до точки касания: х = ВК, у = СР.

6/12 = х/6,  х = 6*6/12 = 3.

6/9 = у/6,    у = 6*6/9 = 4.

Отсюда получаем длины сторон:

АВ = 9+4 = 13,

ВС 0 4+3 = 7,

СД = 12+3 = 15.

Высота Н трапеции равна:

Н = √(АВ² - (9-4)²) = √169 - 25) = √144 = 12.

Площадь S трапеции равна:

S = 12*((7+21)/2) = 12*14 = 168 кв.ед.