Через точку к А плоскости альфа проведены наклонные АВ, АС и перпендикуляр АО. АВ=2а. углы между прямыми АВ, АС и плоскостью альфа равны 30 и 45 градусов соответственно. найдите длины перпендикуляра АО наклонной АС и её проекцииПо условию перпендикуляр АО, наклонные АВ и АС и их проекции ОВ иОС образуют прямоугольные треугольники АОВ и ВОС (угол О- прямой). Поскольку угол ОСА=45⁰, то треугольник АОС - прямоугольный равнобедренный, следовательно перпендикуляр АО равен ее проекции АО.
В треугольнике АОВ угол АВО=30⁰. В прямоугольном треугольнике катет, что лежит против угла 30⁰ в 2 раза меньше гипотенузы, имеем АО=2а/2=а, также АО=ОС=а.
большая а
меньшая b
диагонали
большая d₁ = 11 см
меньшая d₂
Острый угол между сторонами β
---
b = a-1
Теорема косинусов для меньшей диагонали
d₂² = a² + b² - 2ab·cos(β)
a² = a² + (a-1)² - 2a(a-1)·cos(β)
0 = (a-1)² - 2a(a-1)·cos(β)
0 = a - 1 - 2a·cos(β)
2a·cos(β) = a - 1
cos(β) = (a-1)/(2a)
---
Теорема косинусов для большей диагонали
d₁² = a² + b² + 2ab·cos(β)
11² = a² + (a-1)² + 2a(a-1)·(a-1)/(2a)
121 = a² + 2a² - 4a + 2
3a² - 4a - 119 = 0
Дискриминант
D = 4² + 4*3*119 = 1444 = 38²
корни
a₁ = (4 - 38)/(2*3) = -34/6 = -17/3
Плохой, отрицательный корень. Отбросим его.
a₂ = (4 + 38)/(2*3) = 42/6 = 7 см
А это хороший корень, это длинная сторона.
И короткая сторона
b = a-1 = 6 см
В треугольнике АОВ угол АВО=30⁰. В прямоугольном треугольнике катет, что лежит против угла 30⁰ в 2 раза меньше гипотенузы, имеем АО=2а/2=а, также АО=ОС=а.
Из треугольника АОС: АС= а/sin45⁰=а√2.
ответ: АО=а, ОС=а, АС=а√2