У меня тут есть где то красивый рисунок, по которому сразу видно, почему точка G лежит на HO и делит его в пропорции OG/GH = 1/2; (теорема Эйлера). Если есть треугольник ABC, и точка A1 - "противоположная" A точка на описанной окружности (то есть AA1 - диаметр описанной окружности), то A1BHC - параллелограмм, поскольку A1C II BH - обе прямые перпендикулярны AC; то же для A1B II CH; Поэтому, если М - середина BC, то AM является медианой не только тр-ка ABC, но и треугольника AA1H; другой медианой этого треугольника является HO; этим всё доказано. К этой задачке это имеет косвенное отношение, скорее - это "теория". Все, что надо - это что OG/GH = 1/2; Дан треугольник IHO; IH = p; IO = d; HO = q; надо найти x = IG; где HG = 2q/3; дальше одна теорема косинусов. t = cos(∠IHO) d^2 = p^2 + q^2 - 2pqt; x^2 = p^2 + (2q/3)^2 - 2p*(2q/3)t = p^2 + 4q^2/9 + 2/3(d^2 - p^2 - q^2) = p^2/3 + 2d^2/3 - 2q^2/9; собственно это ответ, если я нигде не напутал с цифрами.
а) Из условия следует, что угол ВМК должен быть равен углу А. В треугольниках МВК и АВС угол В общий. Треугольники подобны по двум углам (первый признак подобия) . Следовательно, КМ: АС=ВК: ВС
б) Площадь треугольника АВС равна сумме площадей четырёхугольника AKMC (S1) и площади треугольника МВК (S2). Значит, площадь треугольника АВС относится к площади треугольника МВК как 9:1. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. 9=3^2. Коэффициент подобия равен 3. Тогда АВ: ВМ=3
Поэтому, если М - середина BC, то AM является медианой не только тр-ка ABC, но и треугольника AA1H; другой медианой этого треугольника является HO; этим всё доказано.
К этой задачке это имеет косвенное отношение, скорее - это "теория". Все, что надо - это что OG/GH = 1/2;
Дан треугольник IHO; IH = p; IO = d; HO = q; надо найти x = IG; где HG = 2q/3;
дальше одна теорема косинусов. t = cos(∠IHO)
d^2 = p^2 + q^2 - 2pqt;
x^2 = p^2 + (2q/3)^2 - 2p*(2q/3)t = p^2 + 4q^2/9 + 2/3(d^2 - p^2 - q^2) = p^2/3 + 2d^2/3 - 2q^2/9;
собственно это ответ, если я нигде не напутал с цифрами.
а) Из условия следует, что угол ВМК должен быть равен углу А. В треугольниках МВК и АВС угол В общий. Треугольники подобны по двум углам (первый признак подобия) . Следовательно, КМ: АС=ВК: ВС
б) Площадь треугольника АВС равна сумме площадей четырёхугольника AKMC (S1) и площади треугольника МВК (S2). Значит, площадь треугольника АВС относится к площади треугольника МВК как 9:1. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. 9=3^2. Коэффициент подобия равен 3. Тогда АВ: ВМ=3
Объяснение: