Сечение конуса плоскостью параллельно основанию делит высоту конуса в отношении 3 : 8, считая от вершины.
Какой частью является боковая поверхность отсечённого конуса по сравнению с боковой поверхностью усечённого конуса?

В правильной пирамиде высота её проходит в основании через точку пересечения медиан (они же и высоты)
Этой точкой медианы делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника основания.
Рассмотрим сечение пирамиды и описанного около неё шара, проходящее через боковое ребро пирамиды.
Медиана (высота) основания равна 3*cos 30° = 3*√3/2.
В сечении будет прямоугольный треугольник.
Один из катетов его - это 2/3 медианы основания. Он равен 
3*√3/2*(2*3) = √3.
Второй катет - это высота пирамиды. Она равна √3*tg 30° = √3*(1/√3) = 1.
Боковое ребро - это гипотенуза в рассматриваемом треугольнике.
Оно равно 1 / sin 30° = 1 / (1/2) = 2.
Центр шара, как и центр описанной вокруг рассмотренного треугольника окружности, находится на пересечении перпендикуляра к середине бокового ребра и высоты пирамиды.
Эта точка будет находиться ниже основания пирамиды.
Радиус шара равен 1 /  sin 30° = 1 / (1/2) = 2.

В параллелограмме сумма углов при одной стороне равна 180º.
3π/4=135º, следовательно, острый угол параллелограмма равен 45º.
Треугольник АВD- вписанный, точки А, В и D лежат на окружности. Следовательно, точка В является точкой касания, т.к. в противном случае окружность имела бы с касательной (прямой ВС)  две общие точки, что противоречит определению касательной. 
Тогда  ВМ , проведенный в точку касания - диаметр описанной окружности. 
Угол OВС=90º,  АВО=45º.⇒ угол АОВ=90º
Хорда АD  параллельна ВС и потому перпендикулярна диаметру ВМ. Хорда, перпендикулярная диаметру, делится им пополам. Прямоугольные треугольники АВО и ВDO равны по равным катетам, следовательно, угол ВDО=ВАО=45º, угол АВО=45º, OBD=45º, ⇒ угол ABD= 90º. ⇒ угол ВDС=90º
Треугольник АВД равнобедренный прямоугольный, ВD - перпендикулярна  и равна АВ и DC, и является высотой параллелограмма. 
S (ABCD)=BD*DC=2*2=4 (ед. площади)