Сфера проходит через все вершины нижнего основания правильной четырёхугольной призмы и касается её верхнего основания. Найдите площадь сферы, если площадь диагонального сечения призмы равна , а высота призмы в два раза меньше радиуса сферы , решение вместе с рисунком.

МВ - перпендикуляр к плоскости треугольника, значит
ВС - проекция наклонной МС,
ВА - проекция наклонной МА на плоскость треугольника,
надо найти МС, ВС и ∠МАВ.

ΔМВА: ∠МВА = 90°, катет МВ равен половине гипотенузы, значит
             ∠МАВ = 30°.
             cos30° = BA / MA
             √3/2 = BA / (2a)
             BA = 2a · √3/2 = a√3

ΔАВС равнобедренный, пусть АС = ВС = х, по теореме Пифагора:
x² + x² = BA²
2x² = 3a²
x² = 3a²/2
x = a√3 / √2 = a√6/2

BC = a√6/2

ΔMBC: по теореме Пифагора
              MC = √(MB² + BC²) = √(a² + 6a²/4) = √(10a²/4) = a√10/2

1) Обозначим высоту конуса МО, сечение - МАВ.

 МО=АО=R 

Угол АОМ=60°, ⇒∆ АОВ равносторонний. 

АВ=R

MH - высота сечения. 

S(AMB)=AB•MH:2

МН⊥АВ, ⇒ из т. о 3-х перпендикулярах  ОН⊥АВ, ⇒ ОН - высота ∆ АОВ. 

OH=R•sin60°=R√3/2

Из ∆ МOН по т.Пифагора 

МН=√(OM²+OH²)MH=√{R²+3R²/4)=R√(7/4)

————

2) 

AA' -  дуги сектора 120°. Её длина – длина окружности основания конуса. 

Длина AA’  равна 1/3 длины окружности=2πR:3

AA’=24π/3=8π

В конусе

Формула объема конуса  V=S•h/3

S=πr*

r=AA'/2π – r=8π:2π=4

S=π4*=16π

Образующая конуса l=ОА=12

По т.Пифагора 

h=√(AA’*-r*)=√(144-16)=8√2

V=16π•8√2:3=:3=128√2•π/3