1. PABCD - правильная пирамида. PO_|_ (ABCD) РА=10 см, РО=8 см, <POA=90° ΔPOA. по теореме Пифагора: AO²=PA²-PO² AO²=10²-8², AO²=36, AO =6 см. ΔADC: AC=2AO, AC=12 см, AD=DC=a по теореме Пифагора: AO²=AD²+CD² 12²=a²+a², 144=2a², a²=72, a=√72, a=6√2 см ответ: сторона основания АВ=6√2 см
2. Sбок.пов. =(1/2)Pосн*h h - апофему боковой грани правильной пирамиды найдем по теореме Пифагора из ΔАКР: PK_|_AB, AK=(1/2)AB, AK=3√2 см PA²=AK²+PK², 10²=(3√2)²+PK², PK²=100-18, PK²=82, PK=√82 см S=(1/2)*4*6√2*√82=12√164=12√(4*41)=24√41 S бок.=24√41 см²
Так как в условии не оговорено положение точки М, будем считать ее серединой любой из сторон треугольника АВС. Приведенное решение только для условия с этим предположением.
Сделаем дополнительные построения: соединим вершину перпендикуляра D с вершинами треугольника АВС. Тогда получится правильная пирамида АВСD с боковыми ребрами DA=DB=DC (так как точка О - центр правильного треугольника АВС, то отрезки DA, DB и DC равны, как наклонные к плоскости, проведенные из одной точки, проекции которых равны - радиусы описанной окружности ).
Соединим точку М с противоположной вершиной С. Тогда МС - высота правильного треугольника АВС и по его свойствам МС - высота и медиана.
Следовательно, точка О делит отрезок МС в отношении 2:1, считая от вершины С. Треугольник DOM - пифагоров и МО=3. Тогда ОС=6, а DC=√(DO²+OC²) = √(16+36) = √52 = 2√13.
Найдем сторону треугольника АВС. МС=МО+ОС = 3+6=9. Из прямоугольного треугольника АМС по Пифагору: МС² = АС²- АС²/4 => 81*4=3*АС² => АС=6√3. Тогда периметр треугольника АВС равен 18√3 ед.
РА=10 см, РО=8 см, <POA=90°
ΔPOA. по теореме Пифагора: AO²=PA²-PO²
AO²=10²-8², AO²=36, AO =6 см.
ΔADC: AC=2AO, AC=12 см, AD=DC=a
по теореме Пифагора: AO²=AD²+CD²
12²=a²+a², 144=2a², a²=72, a=√72, a=6√2 см
ответ: сторона основания АВ=6√2 см
2. Sбок.пов. =(1/2)Pосн*h
h - апофему боковой грани правильной пирамиды найдем по теореме Пифагора из ΔАКР: PK_|_AB, AK=(1/2)AB, AK=3√2 см
PA²=AK²+PK², 10²=(3√2)²+PK², PK²=100-18, PK²=82, PK=√82 см
S=(1/2)*4*6√2*√82=12√164=12√(4*41)=24√41
S бок.=24√41 см²
Так как в условии не оговорено положение точки М, будем считать ее серединой любой из сторон треугольника АВС. Приведенное решение только для условия с этим предположением.
Сделаем дополнительные построения: соединим вершину перпендикуляра D с вершинами треугольника АВС. Тогда получится правильная пирамида АВСD с боковыми ребрами DA=DB=DC (так как точка О - центр правильного треугольника АВС, то отрезки DA, DB и DC равны, как наклонные к плоскости, проведенные из одной точки, проекции которых равны - радиусы описанной окружности ).
Соединим точку М с противоположной вершиной С. Тогда МС - высота правильного треугольника АВС и по его свойствам МС - высота и медиана.
Следовательно, точка О делит отрезок МС в отношении 2:1, считая от вершины С. Треугольник DOM - пифагоров и МО=3. Тогда ОС=6, а DC=√(DO²+OC²) = √(16+36) = √52 = 2√13.
Найдем сторону треугольника АВС. МС=МО+ОС = 3+6=9. Из прямоугольного треугольника АМС по Пифагору: МС² = АС²- АС²/4 => 81*4=3*АС² => АС=6√3. Тогда периметр треугольника АВС равен 18√3 ед.
ответ: Рabc = 18√3. AD=BD=DC = 2√13 ед.