1. Разность между образующей L конуса и его высотой H равна 12 a yroл между ними равен 60 градусов. Найти высоту Н конуса. L - H = 12. Высота Н как катет против угла в 30 градусов равен: Н = L/2 или L = 2H. Подставим в первое уравнение: 2Н - Н = 12. Получаем ответ: Н = 12 ед.
2. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90 градусов,а площадь этого сечения 36 кв.eд. Найти объем V конуса (число π считать равным 3). Из условия вытекает R = H. S = (1/2)*(2R)*H = R*R = R² = 36. R = √36 = 6. Отсюда H = 6. ответ: V = (1/3)πR²H = (1/3)*3*6²*6 = 216 куб.ед.
3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 и 8, а угол между ними равен 30 градусов. Диагональ меньшей грани равна 5. Найти объем параллелепипеда. Высота основания (лежит против угла в 30°) равна 4/2 = 2. So = 2*8 = 16 кв.ед. Высота параллелепипеда по Пифагору равна √25-16) = √9 = 3. V = 16*3 = 48 куб.ед.
4. В правильной треугольной пирамиде сторона а основания равна 2, a угол β между боковыми ребрами равен 90 градусов.Найти площадь боковой поверхности пирамиды. Периметр основания Р = 3а = 3*2 = 6 кв.ед. Угол между боковым ребром и стороной основания равен (180 - 90)/2 = 45°. Поэтому высота А боковой грани (это апофема) равна половине стороны основания, то есть 2/2 = 1. Sбок = (1/2)РА = (1/2)*6*1 = 3 кв.ед.
5) Найти боковую поверхность Sбок конуса, если известно, что она вдвое больше площади So основания конуса a площадь Sос осевого сечения конуса равна (√3/π). По условию Sбок = 2 Sо или πRL = 2*(πR²) или L = 2R (это диаметр). То есть осевое сечение - равносторонний треугольник, углы по 60°. Используем условие (площадь равностороннего треугольника): Sоc = (2R)²√3/4 = √3/π, R²√3 = √3/π и после сокращения: R = √(1/π) = 1/(√π). Теперь находим Sбок = πRL при условии L = 2R. Sбок = π*(1/(√π))*2(1/(√π)) = 2 кв. ед.
2) Мы видим, что эти отрезки являются средними линиями получившихся треугольников. По свойству средней линии в треугольнике она равна половине основания. В данном случае основания треугольников - это основания трапеции. Найдем их:
12,8*2 = 25,6 см
19,2*2 = 38,4 см
Проверка:
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
С.лин. = 38,4+25,6/2 = 64/2 = 32 см. Все сходится.
L - H = 12.
Высота Н как катет против угла в 30 градусов равен:
Н = L/2 или L = 2H.
Подставим в первое уравнение: 2Н - Н = 12.
Получаем ответ: Н = 12 ед.
2. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90 градусов,а площадь этого сечения 36 кв.eд. Найти объем V конуса (число π считать равным 3).
Из условия вытекает R = H.
S = (1/2)*(2R)*H = R*R = R² = 36. R = √36 = 6.
Отсюда H = 6.
ответ: V = (1/3)πR²H = (1/3)*3*6²*6 = 216 куб.ед.
3. Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 и 8, а угол между ними равен 30 градусов. Диагональ меньшей грани равна 5. Найти объем параллелепипеда.
Высота основания (лежит против угла в 30°) равна 4/2 = 2. So = 2*8 = 16 кв.ед.
Высота параллелепипеда по Пифагору равна √25-16) = √9 = 3.
V = 16*3 = 48 куб.ед.
4. В правильной треугольной пирамиде сторона а основания равна 2, a угол β между боковыми ребрами равен 90 градусов.Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Периметр основания Р = 3а = 3*2 = 6 кв.ед.
Угол между боковым ребром и стороной основания равен (180 - 90)/2 = 45°. Поэтому высота А боковой грани (это апофема) равна половине стороны основания, то есть 2/2 = 1.
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*6*1 = 3 кв.ед.
5) Найти боковую поверхность Sбок конуса, если известно, что она вдвое больше площади So основания конуса a площадь Sос осевого сечения конуса равна (√3/π).
По условию Sбок = 2 Sо или πRL = 2*(πR²) или L = 2R (это диаметр).
То есть осевое сечение - равносторонний треугольник, углы по 60°.
Используем условие (площадь равностороннего треугольника):
Sоc = (2R)²√3/4 = √3/π,
R²√3 = √3/π и после сокращения: R = √(1/π) = 1/(√π).
Теперь находим Sбок = πRL при условии L = 2R.
Sбок = π*(1/(√π))*2(1/(√π)) = 2 кв. ед.
1) Найдем, через соотношение отрезков, их длины:
32 --- 5, значит, х --- 2 ⇒ х = 12,8 см
32 --- 5, значит, х --- 3 ⇒ х = 19,2 см
2) Мы видим, что эти отрезки являются средними линиями получившихся треугольников. По свойству средней линии в треугольнике она равна половине основания. В данном случае основания треугольников - это основания трапеции. Найдем их:
12,8*2 = 25,6 см
19,2*2 = 38,4 см
Проверка:
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:
С.лин. = 38,4+25,6/2 = 64/2 = 32 см. Все сходится.
ответ: 38,4 см, 25,6 см.